Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  2. BElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
  3. CHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  4. DHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat moet je doen om aan te tonen dat een nieuw probleem X NP-moeilijk is?

  1. AAantonen dat X geen polynomiaal algoritme heeft voor kleine invoer
  2. BX in polynomiale tijd reduceren tot een bekend NP-moeilijk probleem
  3. CAantonen dat X in polynomiale tijd kan worden geverifieerd
  4. DEen bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
3.DatastructurenGemiddeld

Een knoop in een binaire zoekboom heeft een rechtersubboom. Waar staat zijn inorder-opvolger?

  1. ADe meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
  2. BAltijd zijn rechterkind
  3. CAltijd zijn ouder
  4. DDe meest rechtse knoop van zijn linkersubboom
4.DatastructurenMoeilijk

Het algoritme van Kahn voor topologisch sorteren verwijdert herhaaldelijk knopen met ingraad 0. Welke structuur bevat die knopen?

  1. AEen stack van alle bezochte kanten
  2. BEen queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
  3. CEen max-heap geordend op uitgraad
  4. DEen adjacency matrix die bijhoudt welke knopen al zijn verwijderd
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
1115487141169ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF
  9. 9kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X

Waarom dit het antwoord is

Als een bekend moeilijk probleem efficiënt in X kan worden omgezet, zou een snel algoritme voor X ook het bekende probleem oplossen.

Antwoord

D · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
3.Datastructuren

Antwoord: A · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom

Waarom dit het antwoord is

Alle grotere sleutels dicht bij de knoop staan in zijn rechtersubboom, en de kleinste daarvan is de meest linkse knoop daar.

Antwoord

A · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
4.Datastructuren

Antwoord: B · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0

Waarom dit het antwoord is

Klare knopen worden in een queue bewaard; het verwijderen van een knoop verlaagt de ingraad van zijn buren, en wie op 0 komt wordt toegevoegd, wat O(V + E) tijd geeft.

Antwoord

B · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: kant BC

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. DF (1)
2. BC (4)
3. CE (7)
4. BD (8)
5. AB (11)

kantnummer 2

BC

Antwoord

kant BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms