Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke gulzige regel geeft bij het activiteitenselectieprobleem altijd een maximaal aantal niet-overlappende activiteiten?

AKies eerst de activiteit met de minste overlappingen en herhaal dat met de compatibele activiteiten
BKies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
CKies de activiteit die het vroegst begint
DKies eerst de kortste activiteit

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Met het mastertheorema heeft T(n) = 8T(n/2) + O(n²) als oplossing:

AΘ(n³)
BΘ(n log n)
CΘ(n²)
DΘ(n² log n)

3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

AArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
BEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)
CArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
DGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op

4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

AZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
BZe slaan data ongesorteerd op
CZe hebben geen herbalancering nodig
DHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

Waarom dit het antwoord is

Dat het kiezen van de vroegste eindtijd optimaal is, kan worden bewezen met een uitwisselingsargument; voor de andere regels bestaan tegenvoorbeelden.

Antwoord

B · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(n³)

Waarom dit het antwoord is

log₂ 8 = 3, en n² groeit langzamer dan n³, dus de bladeren domineren: Θ(n³).

Antwoord

A · Θ(n³)

3.Datastructuren

Antwoord: A · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

A · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

4.Datastructuren

Antwoord: D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

A, C, D, E → 4

geen van beide

Antwoord

geen van beide

6.Grafentheorie

Antwoord: D

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 12, C: 13

2. B (12): D: 27, G: 24

3. C (13): G: 16

4. G (16): D: 23, E: 24

5. D (23): F: 31

6. E (24): F: 30

7. F (30)

ronde 5

Antwoord

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms