Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(n) heeft als oplossing:

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke definitie van de klasse NP is juist?

  1. AProblemen die niet in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
  2. BProblemen die niet polynomiaal zijn
  3. CBeslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
  4. DProblemen die geen enkel algoritme kan oplossen
3.DatastructurenGemiddeld

Een knoop in een binaire zoekboom heeft een rechtersubboom. Waar staat zijn inorder-opvolger?

  1. AAltijd zijn ouder
  2. BAltijd zijn rechterkind
  3. CDe meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
  4. DDe meest rechtse knoop van zijn linkersubboom
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is onder simple uniform hashing de verwachte zoektijd in een hashtabel met chaining, n sleutels en m buckets?

  1. AO(1 + α), waarbij α = n / m
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(m)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 15 hoekpunten en 25 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 15|E| = 25
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
151334291314ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema (a = 2, b = 2, f(n) = n) geldt T(n) = Θ(n log n).

Antwoord

B · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd

Waarom dit het antwoord is

Bij een NP-probleem kan een voorgestelde oplossing (certificaat) snel worden gecontroleerd, bijvoorbeeld verifiëren dat een gegeven toekenning een booleaanse formule vervult.

Antwoord

C · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
3.Datastructuren

Antwoord: C · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom

Waarom dit het antwoord is

Alle grotere sleutels dicht bij de knoop staan in zijn rechtersubboom, en de kleinste daarvan is de meest linkse knoop daar.

Antwoord

C · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(1 + α), waarbij α = n / m

Waarom dit het antwoord is

Het berekenen van de hash kost O(1) en de verwachte ketenlengte is α, dus α begrensd houden door de tabel te vergroten geeft een verwachte tijd van O(1).

Antwoord

A · O(1 + α), waarbij α = n / m
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 11

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

15 − 1 = 14

Te verwijderen kanten

k = 25 − 14 = 11

Antwoord

k = 11
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 27

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 15
B (15): C: 28, D: 18, E: 29
D (18): E: 20, F: 27
E (20): C: 24
C (24)
F (27)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 27

Antwoord

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms