Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  2. BEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  3. CHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
  4. DElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Kortste enkelvoudige paden kunnen in polynomiale tijd worden gevonden. Wat is bekend over het vinden van het langste enkelvoudige pad tussen twee knopen in een algemene graaf?

  1. AHet is onbeslisbaar
  2. BHet kan worden opgelost met het algoritme van Dijkstra met negatieve gewichten
  3. CHet is NP-moeilijk
  4. DHet is altijd oplosbaar in O(V + E)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat kost het invoegen van een element in het midden van een array met n elementen?

  1. AO(log n), vanwege binair zoeken
  2. BO(n²), omdat elk element n keer verschuift
  3. CO(n), omdat latere elementen moeten opschuiven
  4. DO(1), omdat de index bekend is
4.DatastructurenMoeilijk

Een dynamische array verdubbelt als hij vol is. Waarom verkleinen veel implementaties hem pas als hij voor een kwart vol is, en niet voor de helft?

  1. AOm herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
  2. BOmdat de geheugenbeheerder geheugen alleen in kwarten van een blok kan vrijgeven
  3. COm de array gesorteerd te houden
  4. DOmdat halveren bij de helft elementen zou kwijtraken
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, 2 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
21910420171883ABCDEFG

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 4
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant GB
  8. 8kant GD
  9. 9kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

B · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

Een langste enkelvoudig pad van lengte V − 1 is een hamiltonpad, een NP-volledig probleem; op gerichte acyclische grafen is het echter in lineaire tijd oplosbaar.

Antwoord

C · Het is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: C · O(n), omdat latere elementen moeten opschuiven

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen na het invoegpunt schuiven één positie naar rechts, wat tijd kost evenredig met n.

Antwoord

C · O(n), omdat latere elementen moeten opschuiven
4.Datastructuren

Antwoord: A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

Waarom dit het antwoord is

Verkleinen bij de helft zou in zo'n reeks bij elke bewerking een resize kunnen veroorzaken; de ruimte tussen 1/4 en vol houdt de geamortiseerde kosten O(1).

Antwoord

A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 16

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

Antwoord

L = 16

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant GD

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. AB (2)
2. GE (3)
3. CE (4)
4. GD (8)
5. BC (10)
6. DF (17)

kantnummer 4

GD

Antwoord

kant GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms