Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat heeft de stelling van Cook-Levin vastgesteld?

  1. AHet stopprobleem is onbeslisbaar
  2. BP is niet gelijk aan NP
  3. CElk NP-probleem kan in exponentiële tijd worden opgelost
  4. DHet booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
3.DatastructurenGemiddeld

Welke balansvoorwaarde handhaaft een AVL-boom in elke knoop?

  1. AElke knoop is rood of zwart gekleurd
  2. BAlle bladeren liggen op precies dezelfde diepte
  3. CDe hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
  4. DBeide subbomen van elke knoop bevatten precies hetzelfde aantal knopen
4.DatastructurenMoeilijk

Welke eigenschap houdt elke B-boom perfect gebalanceerd?

  1. ADe sleutels worden alleen in de wortel opgeslagen
  2. BAlle bladeren liggen op dezelfde diepte
  3. CElke knoop slaat één sleutel op
  4. DElke knoop heeft precies twee kinderen
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K7? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K7
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel wandelingen van lengte 3 gaan van B naar E? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema domineert nlog₂ 2 = n het constante werk, dus T(n) = Θ(n), zoals bij het vinden van een maximum door in helften te splitsen.

Antwoord

D · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig

Waarom dit het antwoord is

Cook en Levin lieten onafhankelijk van elkaar zien dat elk probleem in NP in polynomiale tijd reduceert tot SAT, zodat SAT het eerste bekende NP-volledige probleem was.

Antwoord

D · Het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT) is NP-volledig
3.Datastructuren

Antwoord: C · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

Waarom dit het antwoord is

De balansfactor (hoogte links − hoogte rechts) moet −1, 0 of 1 zijn; rotaties herstellen die na invoegen en verwijderen.

Antwoord

C · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
4.Datastructuren

Antwoord: B · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte

Waarom dit het antwoord is

Knopen splitsen naar boven als ze vol zijn en de boom wordt alleen hoger als de wortel splitst, dus alle bladeren blijven altijd op hetzelfde niveau.

Antwoord

B · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 360

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwoord

H = 360
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 1

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Nog één stap

(M³)BE = 1·0 + 3·0 + 1·1 + 0·1 + 2·0 = 1

Antwoord

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms