Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Je sorteert een array van n elementen één keer en beantwoordt daarna k lidmaatschapsvragen met binair zoeken. Wat zijn de totale kosten?

  1. AO(n + k)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Van welk van deze vervulbaarheidsproblemen is bekend dat het in polynomiale tijd oplosbaar is?

  1. A3-SAT, waarbij elke clausule precies drie literalen heeft
  2. BCircuitvervulbaarheid
  3. C2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
  4. DAlgemene SAT op formules in conjunctieve normaalvorm
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe verbetert een radix tree (gecomprimeerde trie) een gewone trie?

  1. AHij sorteert de kinderen van elke knoop op frequentie
  2. BHij slaat elk woord op in een hashtabel bij de wortel in plaats van in aparte knopen
  3. CHij bewaart alleen de eerste letter van elk woord
  4. DHij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 12 hoekpunten en 13 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 12|E| = 13
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
214206171631810ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n log n + k log n)

Waarom dit het antwoord is

Sorteren kost O(n log n) en elke vraag O(log n); dat is beter dan k lineaire zoektochten (O(nk)) als k groot is.

Antwoord

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft

Waarom dit het antwoord is

2-SAT zit in P (lineaire tijd via sterk samenhangende componenten), terwijl 3-SAT NP-volledig is.

Antwoord

C · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
3.Datastructuren

Antwoord: D · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

D · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label

Waarom dit het antwoord is

Het samenvoegen van paden zonder vertakking vermindert het aantal knopen en het geheugengebruik, terwijl zoeken op prefix mogelijk blijft.

Antwoord

D · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 2

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

12 − 1 = 11

Te verwijderen kanten

k = 13 − 11 = 2

Antwoord

k = 2
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 54

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AB (2): nemen
GB (3): nemen
CE (6): nemen
GE (10): nemen
AC (14): overslaan, sluit een cykel
DF (16): nemen
DE (17): nemen

Totaal gewicht

W = 2 + 3 + 6 + 10 + 16 + 17 = 54

Antwoord

W = 54

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms