Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de geamortiseerde kosten van het ophogen van een binaire teller, als één ophoging veel bits kan omzetten?

  1. AO(n) per ophoging
  2. BO(n log n) per ophoging
  3. CO(log n) per ophoging
  4. DO(1) per ophoging
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het zoeken naar een sleutel in een gebalanceerde binaire zoekboom?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is het belangrijkste voordeel van een skiplist ten opzichte van een gesorteerde gekoppelde lijst?

  1. AVerwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
  2. BHij gebruikt geen extra geheugen
  3. CHij slaat sleutels ongeordend op
  4. DGegarandeerd zoeken in O(1), omdat elke knoop een pointer naar elke andere knoop bewaart
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel wandelingen van lengte 2 gaan van C naar A? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

D · O(1)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(1) per ophoging

Waarom dit het antwoord is

Over n ophogingen wisselt bit i ongeveer n / 2ⁱ keer, dus het totaal is minder dan 2n bitwisselingen, gemiddeld O(1) per ophoging.

Antwoord

D · O(1) per ophoging
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde boom heeft een hoogte van ongeveer log₂ n, dus een zoekactie volgt één pad van de wortel naar een blad.

Antwoord

D · O(log n)
4.Datastructuren

Antwoord: A · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers

Waarom dit het antwoord is

Willekeurige niveaus laten zoekacties veel knopen overslaan, wat verwacht O(log n) oplevert voor zoeken, invoegen en verwijderen.

Antwoord

A · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 1

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

Antwoord

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms