Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Breedte-eerst zoeken (BFS) op een ongewogen graaf vindt:

  1. AEen topologische volgorde in alle grafen
  2. BDe minimaal opspannende boom
  3. CKortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
  4. DKortste paden in grafen met negatieve kantgewichten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom kan het algoritme van Dijkstra verkeerde resultaten geven als sommige kantgewichten negatief zijn?

  1. ANegatieve getallen kunnen niet in een prioriteitswachtrij worden opgeslagen
  2. BEen knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
  3. CHet werkt alleen op ongerichte grafen
  4. DHet raakt bij elke negatieve kant in een oneindige lus
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. A1
  2. B0,5
  3. CEr is geen maximum
  4. D2
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is onder simple uniform hashing de verwachte zoektijd in een hashtabel met chaining, n sleutels en m buckets?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1 + α), waarbij α = n / m
  4. DO(m)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 6 hoekpunten en 11 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 6|E| = 11
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
6582184171115ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop

Waarom dit het antwoord is

BFS bezoekt knopen in volgorde van afstand (in kanten) tot de bron en vindt daardoor kortste ongewogen paden in O(V + E).

Antwoord

C · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven

Waarom dit het antwoord is

De gulzige stap rekent op niet-negatieve gewichten, zodat uitgehaalde afstanden definitief zijn; Bellman-Ford wordt gebruikt als gewichten negatief kunnen zijn.

Antwoord

B · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
3.Datastructuren

Antwoord: A · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

A · 1
4.Datastructuren

Antwoord: C · O(1 + α), waarbij α = n / m

Waarom dit het antwoord is

Het berekenen van de hash kost O(1) en de verwachte ketenlengte is α, dus α begrensd houden door de tabel te vergroten geeft een verwachte tijd van O(1).

Antwoord

C · O(1 + α), waarbij α = n / m
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 6

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

6 − 1 = 5

Te verwijderen kanten

k = 11 − 5 = 6

Antwoord

k = 6
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 28

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BD (2): nemen
DE (4): nemen
AC (5): nemen
AB (6): nemen
BC (8): overslaan, sluit een cykel
EF (11): nemen

Totaal gewicht

W = 2 + 4 + 5 + 6 + 11 = 28

Antwoord

W = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms