Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Is het juist om te zeggen dat een O(n²)-algoritme ook O(n³) is?

  1. AJa, maar alleen als n kleiner is dan 100
  2. BJa, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
  3. CNee, omdat n³ voor grote n kleiner is dan n²
  4. DNee, omdat grote O altijd de exacte groeisnelheid van de functie moet geven
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over de kleine-o-notatie is juist?

  1. An = o(n²), maar n is niet o(n)
  2. B2n = o(n), omdat 2n langzaam groeit
  3. Cn = o(n), omdat elke functie kleine o van zichzelf is
  4. Dn² = o(n)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is het doel van een sentinelknoop (dummyknoop) in een gekoppelde lijst?

  1. ADe code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
  2. BHet aantal elementen opslaan
  3. CDe lijst gesorteerd maken
  4. DVoorkomen dat de lijst groeit voorbij een vast maximumaantal knopen
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn de tijd- en extra geheugenkosten van het ter plaatse omkeren van een enkelvoudig gekoppelde lijst?

  1. AO(n) tijd en O(n) extra geheugen
  2. BO(n) tijd en O(1) extra geheugen
  3. CO(n log n) tijd en O(1) extra geheugen
  4. DO(1) tijd en O(1) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
8151720911412ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt F. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Fk = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant BC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

Waarom dit het antwoord is

Grote O is een bovengrens, dus de uitspraak is waar maar niet strak; Θ(n²) geeft de exacte groeisnelheid.

Antwoord

B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · n = o(n²), maar n is niet o(n)

Waarom dit het antwoord is

f = o(g) betekent dat f(n) / g(n) naar 0 gaat; n / n² gaat naar 0, maar n / n = 1 niet.

Antwoord

A · n = o(n²), maar n is niet o(n)
3.Datastructuren

Antwoord: A · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen

Waarom dit het antwoord is

Met een sentinel heeft elke echte knoop een voorganger, dus invoegen of verwijderen aan de kop vraagt geen speciale behandeling.

Antwoord

A · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(n) tijd en O(1) extra geheugen

Waarom dit het antwoord is

Met drie pointers (vorige, huidige, volgende) kun je elke koppeling in één doorgang omkeren zonder nieuwe knopen te reserveren.

Antwoord

B · O(n) tijd en O(1) extra geheugen
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: kant BC

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. DF (1)
2. DE (9)
3. BE (12)
4. AB (8)
5. BC (15)

kantnummer 5

BC

Antwoord

kant BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms