Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n/2) + O(1)?

AO(n)
BO(1)
CO(n log n)
DO(log n)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Karatsuba-vermenigvuldiging voldoet aan T(n) = 3T(n/2) + O(n). Wat is de oplossing?

AΘ(n²)
BΘ(n log n)
CΘ(n^{log₂ 3}), ongeveer n^1,585
DΘ(n³)

3.DatastructurenGemiddeld

Wat gebeurt er als een hashtabel rehasht nadat de load factor een drempel overschrijdt?

ADe oudste sleutels worden verwijderd om ruimte te maken
BAlleen de botsende sleutels worden naar een nieuwe overloop-lijst aan het eind van de tabel verplaatst
CEr wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
DDe bestaande sleutels worden ter plaatse gesorteerd

4.DatastructurenMoeilijk

Welke bewerkingen ondersteunt een Fenwick-boom (binary indexed tree) over een array van n getallen in O(log n)?

APrefixsomquery's en updates van één element
BDe mediaan vinden in O(1)
CDe array sorteren en binair zoeken
DElementen op elke positie invoegen

5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 6 hoekpunten en 15 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 6|E| = 15

k =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Het probleem halveert bij elke stap met constant werk per stap, dus er zijn ongeveer log₂ n stappen.

Antwoord

D · O(log n)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Θ(n^{log₂ 3}), ongeveer n^1,585

Waarom dit het antwoord is

Omdat log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, domineren volgens het mastertheorema de bladeren, wat beter is dan de O(n²) van de schoolmethode.

Antwoord

C · Θ(n^{log₂ 3}), ongeveer n^1,585

3.Datastructuren

Antwoord: C · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

Waarom dit het antwoord is

Omdat de index modulo de tabelgrootte wordt berekend, moeten alle sleutels opnieuw in de nieuwe, grotere tabel worden gehasht; bij verdubbelen blijft dit geamortiseerd O(1).

Antwoord

C · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

4.Datastructuren

Antwoord: A · Prefixsomquery's en updates van één element

Waarom dit het antwoord is

Een Fenwick-boom slaat deelsommen op over bereiken die worden bepaald door de lage bits van elke index, zodat zowel prefixsommen als puntupdates O(log n) kosten.

Antwoord

A · Prefixsomquery's en updates van één element

5.Grafentheorie

Antwoord: k = 10

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

6 − 1 = 5

Te verwijderen kanten

k = 15 − 5 = 10

Antwoord

k = 10

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 12

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 4, C: 11

B (4): D: 15, E: 6

E (6): D: 9

D (9): F: 12

C (11)

F (12)

Kortste pad

A → B → E → D → F

d(F) = 12

Antwoord

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms