Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Een functie voert één lus van n iteraties uit en daarna, los daarvan, nog een lus van n iteraties. Wat is de tijdcomplexiteit?

AO(n)
BO(log n)
CO(2ⁿ)
DO(n²)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over het selecteren van het k-de kleinste element van een ongesorteerde array is juist?

ASelectie is alleen mogelijk in O(n²)
BQuickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
CQuickselect loopt in het slechtste geval in O(log n), omdat het maar aan één kant van de pivot recursief verdergaat
DSelectie heeft altijd Ω(n log n) nodig, omdat er gesorteerd moet worden

3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

AGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op
BEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)
CArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
DArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

4.DatastructurenMoeilijk

Een Bloom-filter kan de vraag "zit dit element in de verzameling?" beantwoorden met:

AMogelijke fout-negatieven maar geen fout-positieven
BAltijd exacte antwoorden
CMogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
DAlleen antwoorden voor getallen

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₄? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₄

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n)

Waarom dit het antwoord is

n + n = 2n, en constante factoren vallen weg, dus de functie is O(n).

Antwoord

A · O(n)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

Waarom dit het antwoord is

Het verwachte werk van quickselect is n + n/2 + n/4 + ... = O(n) met willekeurige pivots; door de pivot te kiezen als mediaan van medianen wordt het slechtste geval lineair.

Antwoord

B · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

3.Datastructuren

Antwoord: D · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

D · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

4.Datastructuren

Antwoord: C · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven

Waarom dit het antwoord is

Als een van de bits voor een element 0 is, ontbreekt het zeker; als ze allemaal 1 zijn, is het waarschijnlijk aanwezig. Bloom-filters ruilen nauwkeurigheid in voor heel weinig geheugen.

Antwoord

C · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 30

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 12

C (12): B: 15, E: 23

B (15): D: 24

E (23): F: 30

D (24)

F (30)

Kortste pad

A → C → E → F

d(F) = 30

Antwoord

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms