Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke uitspraak over een recursieve functie zonder bereikbaar basisgeval is juist?

  1. ADe compiler maakt er altijd een lus van die veilig eindigt
  2. BZe geeft automatisch 0 terug
  3. CZe loopt in O(1) tijd
  4. DZe blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Voor welke variant van het knapzakprobleem geeft de gulzige regel "neem items in volgorde van waarde per gewicht" altijd een optimaal antwoord?

  1. ADe 0/1-knapzak, waarbij items altijd in hun geheel moeten worden genomen
  2. BGeen van beide varianten
  3. CBeide varianten
  4. DDe fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het zoeken naar een woord met lengte L in een trie met een vast alfabet?

  1. AO(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
  2. BO(n), waarbij n het aantal woorden is
  3. CO(log n), waarbij n het aantal woorden is
  4. DO(L × n)
4.DatastructurenMoeilijk

Welke bewerkingen ondersteunt een Fenwick-boom (binary indexed tree) over een array van n getallen in O(log n)?

  1. APrefixsomquery's en updates van één element
  2. BDe mediaan vinden in O(1)
  3. CElementen op elke positie invoegen
  4. DDe array sorteren en binair zoeken
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 18 hoekpunten en 22 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 18|E| = 22
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
71441311315ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

Waarom dit het antwoord is

Zonder basisgeval stopt de recursie nooit; in de praktijk raakt het geheugen voor stackframes op en crasht het programma.

Antwoord

D · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst

Waarom dit het antwoord is

Als items kunnen worden opgesplitst, is de beste verhouding eerst optimaal; bij de 0/1-knapzak kan een item met een hoge verhouding een betere combinatie blokkeren, dus is dynamisch programmeren nodig.

Antwoord

D · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
3.Datastructuren

Antwoord: A · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen

Waarom dit het antwoord is

Elk teken kiest één kind, dus opzoeken kost L stappen, ongeacht hoeveel woorden de trie bevat.

Antwoord

A · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.Datastructuren

Antwoord: A · Prefixsomquery's en updates van één element

Waarom dit het antwoord is

Een Fenwick-boom slaat deelsommen op over bereiken die worden bepaald door de lage bits van elke index, zodat zowel prefixsommen als puntupdates O(log n) kosten.

Antwoord

A · Prefixsomquery's en updates van één element
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

18 − 1 = 17

Te verwijderen kanten

k = 22 − 17 = 5

Antwoord

k = 5
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 21

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 7, C: 14
B (7): C: 11, D: 8
D (8): E: 9, F: 21
E (9)
C (11)
F (21)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 21

Antwoord

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms