Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het standaardalgoritme voor dynamisch programmeren voor de langste gemeenschappelijke deelrij van strings met lengte m en n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(mn)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over het selecteren van het k-de kleinste element van een ongesorteerde array is juist?

  1. AQuickselect loopt in het slechtste geval in O(log n), omdat het maar aan één kant van de pivot recursief verdergaat
  2. BSelectie heeft altijd Ω(n log n) nodig, omdat er gesorteerd moet worden
  3. CSelectie is alleen mogelijk in O(n²)
  4. DQuickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
3.DatastructurenGemiddeld

Bij welke methode voor het oplossen van botsingen worden botsende sleutels in een lijst in dezelfde bucket opgeslagen?

  1. ASeparate chaining (ketenen)
  2. BDubbel hashen (double hashing)
  3. CKwadratisch proberen (quadratic probing)
  4. DLineair proberen (linear probing)
4.DatastructurenMoeilijk

Welk paar doorlopen bepaalt altijd een unieke binaire boom met verschillende sleutels?

  1. AAlleen level-order
  2. BPreorder en postorder
  3. CPreorder en inorder
  4. DAlleen preorder
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 3 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
2713315513432ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(mn)

Waarom dit het antwoord is

De tabel heeft (m + 1)(n + 1) cellen, en elke cel wordt in O(1) berekend uit zijn buren.

Antwoord

C · O(mn)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

Waarom dit het antwoord is

Het verwachte werk van quickselect is n + n/2 + n/4 + ... = O(n) met willekeurige pivots; door de pivot te kiezen als mediaan van medianen wordt het slechtste geval lineair.

Antwoord

D · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
3.Datastructuren

Antwoord: A · Separate chaining (ketenen)

Waarom dit het antwoord is

Chaining houdt per bucket een gekoppelde lijst (of een andere structuur) bij; open adressering zoekt een andere vrije plek in de tabel zelf.

Antwoord

A · Separate chaining (ketenen)
4.Datastructuren

Antwoord: C · Preorder en inorder

Waarom dit het antwoord is

Preorder geeft de wortel, en zijn positie in de inorder-reeks splitst de linker- en rechtersubboom; preorder met postorder is dubbelzinnig als een knoop één kind heeft.

Antwoord

C · Preorder en inorder
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 21

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Antwoord

L = 21

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 15

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 2
C (2): B: 9, E: 5
E (5): D: 20, F: 18, G: 7
G (7): D: 10
B (9)
D (10): F: 15
F (15)

Kortste pad

A → C → E → G → D → F
d(F) = 15

Antwoord

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms