Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Met munten van 1, 3 en 4 en een bedrag van 6: hoeveel munten gebruikt de gulzige methode "grootste munt eerst", vergeleken met het optimum?

  1. AGulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 3
  2. BGulzig gebruikt 2 munten; het optimum is 2
  3. CGulzig gebruikt 4 munten; het optimum is 3
  4. DGulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Voor welke variant van het knapzakprobleem geeft de gulzige regel "neem items in volgorde van waarde per gewicht" altijd een optimaal antwoord?

  1. AGeen van beide varianten
  2. BBeide varianten
  3. CDe fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
  4. DDe 0/1-knapzak, waarbij items altijd in hun geheel moeten worden genomen
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel geheugen gebruikt een adjacency list voor een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V × E)
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn de tijd- en extra geheugenkosten van het ter plaatse omkeren van een enkelvoudig gekoppelde lijst?

  1. AO(n) tijd en O(n) extra geheugen
  2. BO(1) tijd en O(1) extra geheugen
  3. CO(n) tijd en O(1) extra geheugen
  4. DO(n log n) tijd en O(1) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel wandelingen van lengte 2 gaan van B naar A? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Gulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2

Waarom dit het antwoord is

Gulzig neemt 4 + 1 + 1 = 3 munten, maar 3 + 3 gebruikt er maar 2, dus gulzig is niet optimaal voor dit muntsysteem; dynamisch programmeren wel.

Antwoord

D · Gulzig gebruikt 3 munten; het optimum is 2
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst

Waarom dit het antwoord is

Als items kunnen worden opgesplitst, is de beste verhouding eerst optimaal; bij de 0/1-knapzak kan een item met een hoge verhouding een betere combinatie blokkeren, dus is dynamisch programmeren nodig.

Antwoord

C · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
3.Datastructuren

Antwoord: A · O(V + E)

Waarom dit het antwoord is

Elke knoop heeft een lijst en elke kant komt één keer (gericht) of twee keer (ongericht) voor, wat O(V + E) geeft.

Antwoord

A · O(V + E)
4.Datastructuren

Antwoord: C · O(n) tijd en O(1) extra geheugen

Waarom dit het antwoord is

Met drie pointers (vorige, huidige, volgende) kun je elke koppeling in één doorgang omkeren zonder nieuwe knopen te reserveren.

Antwoord

C · O(n) tijd en O(1) extra geheugen
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Oneven hoekpunten

B, D, E, G → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 1

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)BA = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 = 1

Antwoord

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms