Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke definitie van de klasse P is juist?

  1. ABeslissingsproblemen die door een deterministisch algoritme in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
  2. BProblemen die op elke computer exponentiële tijd nodig hebben
  3. CProblemen waarvan oplossingen wel kunnen worden gecontroleerd maar nooit in polynomiale tijd gevonden
  4. DProblemen die parallel kunnen worden opgelost
3.DatastructurenGemiddeld

Bij welke methode voor het oplossen van botsingen worden botsende sleutels in een lijst in dezelfde bucket opgeslagen?

  1. ALineair proberen (linear probing)
  2. BDubbel hashen (double hashing)
  3. CSeparate chaining (ketenen)
  4. DKwadratisch proberen (quadratic probing)
4.DatastructurenMoeilijk

Je moet uit een stroom van n getallen de k kleinste waarden bewaren met O(k) geheugen. Welke aanpak werkt in O(n log k) tijd?

  1. AEen FIFO-queue van de laatste k waarden
  2. BEen max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
  3. CEen min-heap met alle n waarden, waaruit aan het eind de k kleinste worden gehaald
  4. DEen gesorteerde array van alle n waarden
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
19897151611175ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt F. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Fk = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF
  9. 9kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Het probleem halveert bij elke stap met constant werk per stap, dus er zijn ongeveer log₂ n stappen.

Antwoord

D · O(log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Beslissingsproblemen die door een deterministisch algoritme in polynomiale tijd kunnen worden opgelost

Waarom dit het antwoord is

P bevat beslissingsproblemen met een deterministisch algoritme in polynomiale tijd, zoals controleren of een graaf samenhangend is.

Antwoord

A · Beslissingsproblemen die door een deterministisch algoritme in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
3.Datastructuren

Antwoord: C · Separate chaining (ketenen)

Waarom dit het antwoord is

Chaining houdt per bucket een gekoppelde lijst (of een andere structuur) bij; open adressering zoekt een andere vrije plek in de tabel zelf.

Antwoord

C · Separate chaining (ketenen)
4.Datastructuren

Antwoord: B · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt

Waarom dit het antwoord is

De wortel van de max-heap is de grootste bewaarde waarde; elke kleinere nieuwe waarde vervangt die in O(log k), zodat de heap altijd de k kleinste tot nu toe bevat.

Antwoord

B · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

A, B, D, E → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: kant AC

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. DF (11)
2. BD (7)
3. BE (5)
4. BC (9)
5. AC (8)

kantnummer 5

AC

Antwoord

kant AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms