Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom schakelen veel sorteerroutines in bibliotheken over op insertion sort voor heel kleine deelarrays?

AInsertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
BRecursieve algoritmen kunnen geen arrays van minder dan 10 elementen aan
CInsertion sort is in het slechtste geval O(n log n)
DInsertion sort gebruikt voor grote invoer minder geheugen dan elk ander sorteeralgoritme

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke bewering over P en NP is juist?

ANP betekent "niet polynomiaal"
BElk probleem in P zit ook in NP
CEr is bewezen dat P ≠ NP
DOplossingen van NP-problemen kunnen niet snel worden geverifieerd

3.DatastructurenGemiddeld

Wat gebeurt er als een hashtabel rehasht nadat de load factor een drempel overschrijdt?

ADe oudste sleutels worden verwijderd om ruimte te maken
BAlleen de botsende sleutels worden naar een nieuwe overloop-lijst aan het eind van de tabel verplaatst
CDe bestaande sleutels worden ter plaatse gesorteerd
DEr wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

4.DatastructurenMoeilijk

Waarom gebruiken databases voor indexen vaak B+-bomen in plaats van gewone B-bomen?

AB+-bomen slaan data alleen in de wortel op
BB+-bomen gebruiken binaire interne knopen, wat het aantal schijflezingen vermindert
CB+-bomen hoeven niet gebalanceerd te zijn
DAlle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₆? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₆

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 5|E| = 7

W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer

Waarom dit het antwoord is

Voor kleine n wint de eenvoudige lus van insertion sort van de recursie-overhead van quicksort of mergesort, ook al is insertion sort O(n²).

Antwoord

A · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Elk probleem in P zit ook in NP

Waarom dit het antwoord is

P ⊆ NP: als je een probleem snel kunt oplossen, kun je een oplossing ook snel verifiëren. Of P = NP is nog een open vraag.

Antwoord

B · Elk probleem in P zit ook in NP

3.Datastructuren

Antwoord: D · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

Waarom dit het antwoord is

Omdat de index modulo de tabelgrootte wordt berekend, moeten alle sleutels opnieuw in de nieuwe, grotere tabel worden gehasht; bij verdubbelen blijft dit geamortiseerd O(1).

Antwoord

D · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

4.Datastructuren

Antwoord: D · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

Waarom dit het antwoord is

In een B+-boom sturen interne knopen alleen de zoektocht en zijn de bladeren in sleutelvolgorde gekoppeld, zodat een bereikquery de eerste sleutel vindt en dan langs de bladeren loopt.

Antwoord

D · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 17

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

CE (1): nemen

BE (2): nemen

BD (4): nemen

DE (9): overslaan, sluit een cykel

AB (10): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 4 + 10 = 17

Antwoord

W = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms