Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Ongeveer hoeveel vergelijkingen heeft binair zoeken in het slechtste geval nodig in een gesorteerde array van 1,000,000 elementen?

  1. AOngeveer 100
  2. BOngeveer 500,000
  3. COngeveer 1,000
  4. DOngeveer 20
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Zit 22n in O(2ⁿ)?

  1. AJa, want constante factoren in de exponent worden in grote O altijd genegeerd
  2. BNee, want 22n groeit langzamer dan 2ⁿ
  3. CJa, want beide zijn exponentieel
  4. DNee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AEen binaire heap van kanten
  2. BEén gesorteerde array van knopen
  3. CAdjacency matrix
  4. DAdjacency list
4.DatastructurenMoeilijk

Het algoritme van Kahn voor topologisch sorteren verwijdert herhaaldelijk knopen met ingraad 0. Welke structuur bevat die knopen?

  1. AEen queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
  2. BEen max-heap geordend op uitgraad
  3. CEen stack van alle bezochte kanten
  4. DEen adjacency matrix die bijhoudt welke knopen al zijn verwijderd
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
615471323128ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ongeveer 20

Waarom dit het antwoord is

220 ≈ 1,048,576, dus na ongeveer 20 halveringen blijft er maar één element over.

Antwoord

D · Ongeveer 20
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd

Waarom dit het antwoord is

Een constante die bij de exponent wordt opgeteld, geeft een constante factor, maar een constante die de exponent vermenigvuldigt, verandert het grondtal en de groeisnelheid.

Antwoord

D · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.Datastructuren

Antwoord: D · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

D · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: A · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0

Waarom dit het antwoord is

Klare knopen worden in een queue bewaard; het verwijderen van een knoop verlaagt de ingraad van zijn buren, en wie op 0 komt wordt toegevoegd, wat O(V + E) tijd geeft.

Antwoord

A · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

A, D, E, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 17

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 6, C: 1
C (1): E: 6, G: 4
G (4): D: 16
B (6)
E (6): D: 10, F: 19
D (10): F: 17
F (17)

Kortste pad

A → C → E → D → F
d(F) = 17

Antwoord

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms