Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Is het juist om te zeggen dat een O(n²)-algoritme ook O(n³) is?

  1. AJa, maar alleen als n kleiner is dan 100
  2. BJa, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
  3. CNee, omdat n³ voor grote n kleiner is dan n²
  4. DNee, omdat grote O altijd de exacte groeisnelheid van de functie moet geven
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van het opbouwen van een binaire heap uit n ongesorteerde elementen met de bottom-upmethode?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel geheugen gebruikt een adjacentiematrix voor een graaf met V knopen?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V²)
4.DatastructurenMoeilijk

Een segmentboom (segment tree) wordt doorgaans gebruikt om:

  1. AStrings alfabetisch te sorteren door elk voorvoegsel in een aparte boomknoop op te slaan
  2. BDe kanten van een graaf op te slaan
  3. CEen stack te implementeren
  4. DBereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 9 hoekpunten en 15 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 9|E| = 15
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
1451513714711ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

Waarom dit het antwoord is

Grote O is een bovengrens, dus de uitspraak is waar maar niet strak; Θ(n²) geeft de exacte groeisnelheid.

Antwoord

B · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het optellen van de sift-down-kosten over alle niveaus levert een convergente reeks op, dus heapify draait in lineaire tijd.

Antwoord

B · O(n)
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(V²)

Waarom dit het antwoord is

Een adjacentiematrix slaat V × V elementen op, efficiënt voor dichte grafen; adjacentielijsten gebruiken O(V + E), beter voor ijle grafen.

Antwoord

D · O(V²)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden

Waarom dit het antwoord is

Een segmentboom slaat aggregaten voor intervallen op en ondersteunt bereikquery's en puntupdates in O(log n) tijd.

Antwoord

D · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 7

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

9 − 1 = 8

Te verwijderen kanten

k = 15 − 8 = 7

Antwoord

k = 7
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 25

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 14, C: 5
C (5): E: 18
B (14): D: 29
E (18): D: 25, F: 25
D (25)
F (25)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 25

Antwoord

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms