Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke gulzige regel geeft bij het activiteitenselectieprobleem altijd een maximaal aantal niet-overlappende activiteiten?

  1. AKies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  2. BKies eerst de kortste activiteit
  3. CKies eerst de activiteit met de minste overlappingen en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  4. DKies de activiteit die het vroegst begint
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat moet je doen om aan te tonen dat een nieuw probleem X NP-moeilijk is?

  1. AX in polynomiale tijd reduceren tot een bekend NP-moeilijk probleem
  2. BEen bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
  3. CAantonen dat X geen polynomiaal algoritme heeft voor kleine invoer
  4. DAantonen dat X in polynomiale tijd kan worden geverifieerd
3.DatastructurenGemiddeld

Wat gebeurt er als een hashtabel rehasht nadat de load factor een drempel overschrijdt?

  1. ADe bestaande sleutels worden ter plaatse gesorteerd
  2. BAlleen de botsende sleutels worden naar een nieuwe overloop-lijst aan het eind van de tabel verplaatst
  3. CDe oudste sleutels worden verwijderd om ruimte te maken
  4. DEr wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
4.DatastructurenMoeilijk

In een circulaire buffer kan front == rear zowel leeg als vol betekenen. Wat is een gangbare manier om ze te onderscheiden?

  1. AHoud een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
  2. BMaak de buffer altijd leeg als front gelijk is aan rear, zodat de toestand leeg is
  3. CMaak de buffergrootte een macht van twee
  4. DSla front en rear op in dezelfde variabele
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 2 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
133916155194ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

Waarom dit het antwoord is

Dat het kiezen van de vroegste eindtijd optimaal is, kan worden bewezen met een uitwisselingsargument; voor de andere regels bestaan tegenvoorbeelden.

Antwoord

A · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X

Waarom dit het antwoord is

Als een bekend moeilijk probleem efficiënt in X kan worden omgezet, zou een snel algoritme voor X ook het bekende probleem oplossen.

Antwoord

B · Een bekend NP-moeilijk probleem in polynomiale tijd reduceren tot X
3.Datastructuren

Antwoord: D · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

Waarom dit het antwoord is

Omdat de index modulo de tabelgrootte wordt berekend, moeten alle sleutels opnieuw in de nieuwe, grotere tabel worden gehasht; bij verdubbelen blijft dit geamortiseerd O(1).

Antwoord

D · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
4.Datastructuren

Antwoord: A · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt

Waarom dit het antwoord is

Met een teller betekent leeg count = 0 en vol count = capaciteit; met één lege plaats wordt vol gedefinieerd als (rear + 1) mod n == front.

Antwoord

A · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 17

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 31 = 2(L + 8) − 2
L = 17

Antwoord

L = 17

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 36

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AC (3): nemen
BE (4): nemen
DF (5): nemen
BC (9): nemen
AB (13): overslaan, sluit een cykel
DE (15): nemen

Totaal gewicht

W = 3 + 4 + 5 + 9 + 15 = 36

Antwoord

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms