Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom levert dynamisch programmeren geen echte versnelling op voor mergesort?

  1. ADynamisch programmeren werkt alleen op grafenproblemen, niet op arrays
  2. BMergesort heeft geen recursieve structuur
  3. CDe deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
  4. DMergesort is al O(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van het opbouwen van een binaire heap uit n ongesorteerde elementen met de bottom-upmethode?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt een draaiend programma om actieve functieaanroepen en hun lokale variabelen bij te houden?

  1. AEen hashtabel van functies
  2. BEen binaire zoekboom van frames
  3. CDe call stack
  4. DDe wachtrij van het heapgeheugen
4.DatastructurenMoeilijk

Waarvoor wordt de union-findstructuur gebruikt in het algoritme van Kruskal voor de minimale opspannende boom?

  1. ADe beginknoop kiezen
  2. BControleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
  3. CDe kanten op gewicht sorteren
  4. DTijdens het zoeken de huidige afstand van elke knoop tot de bron opslaan
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 43 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1584118141720ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

Waarom dit het antwoord is

De helften van mergesort zijn disjunct en worden elk één keer opgelost; DP helpt alleen als deelproblemen terugkomen, zoals bij Fibonacci.

Antwoord

C · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het optellen van de sift-down-kosten over alle niveaus levert een convergente reeks op, dus heapify draait in lineaire tijd.

Antwoord

D · O(n)
3.Datastructuren

Antwoord: C · De call stack

Waarom dit het antwoord is

Elke aanroep pusht een stackframe en elke return popt het, daarom wordt de meest recente aanroep als eerste afgerond.

Antwoord

C · De call stack
4.Datastructuren

Antwoord: B · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn

Waarom dit het antwoord is

Find vertelt of beide eindpunten in dezelfde component liggen; zo niet, dan wordt de kant toegevoegd en voegt union de componenten samen.

Antwoord

B · Controleren of de twee eindpunten van een kant al verbonden zijn
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 8

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Antwoord

L = 8

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 44

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BD (1): nemen
BC (4): nemen
AC (8): nemen
DF (14): nemen
AB (15): overslaan, sluit een cykel
EF (17): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 4 + 8 + 14 + 17 = 44

Antwoord

W = 44

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms