Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk algoritme vindt de kortste paden vanuit één bron in een graaf met niet-negatieve kantgewichten?

  1. AHet algoritme van Kruskal
  2. BDiepte-eerst zoeken (DFS)
  3. CHet algoritme van Dijkstra
  4. DBellman-Ford is in alle gevallen vereist
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Insertion sort loopt in O(n) op gesorteerde invoer. Is dit in tegenspraak met de ondergrens Ω(n log n) voor sorteren met vergelijkingen?

  1. AJa, maar alleen voor arrays korter dan 100
  2. BJa, de ondergrens is dus fout
  3. CNee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
  4. DNee, omdat insertion sort geen sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen is
3.DatastructurenGemiddeld

Wat gebeurt er als een hashtabel rehasht nadat de load factor een drempel overschrijdt?

  1. AEr wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
  2. BAlleen de botsende sleutels worden naar een nieuwe overloop-lijst aan het eind van de tabel verplaatst
  3. CDe oudste sleutels worden verwijderd om ruimte te maken
  4. DDe bestaande sleutels worden ter plaatse gesorteerd
4.DatastructurenMoeilijk

Welke uitspraak over heapsort is juist?

  1. AHet is stabiel en heeft O(n) extra geheugen nodig
  2. BHet draait op elke invoer in O(n) tijd
  3. CHet heeft een binaire zoekboom nodig als extra opslag, dus het gebruikt O(n) extra geheugen
  4. DHet sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
111311135131145ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het algoritme van Dijkstra

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Dijkstra werkt met niet-negatieve gewichten; Bellman-Ford kan negatieve gewichten aan; Kruskal bouwt minimaal opspannende bomen.

Antwoord

C · Het algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer

Waarom dit het antwoord is

De grens zegt dat elk sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen op een of andere invoer van grootte n ongeveer n log n vergelijkingen nodig heeft; speciale invoeren kunnen veel sneller zijn.

Antwoord

C · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
3.Datastructuren

Antwoord: A · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

Waarom dit het antwoord is

Omdat de index modulo de tabelgrootte wordt berekend, moeten alle sleutels opnieuw in de nieuwe, grotere tabel worden gehasht; bij verdubbelen blijft dit geamortiseerd O(1).

Antwoord

A · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
4.Datastructuren

Antwoord: D · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel

Waarom dit het antwoord is

Heapsort bouwt een max-heap en haalt binnen dezelfde array n keer het maximum eruit; verwisselingen over grote afstanden kunnen gelijke sleutels van volgorde veranderen.

Antwoord

D · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Oneven hoekpunten

A, C → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 11, C: 13
2. B (11)
3. C (13): E: 26, G: 24
4. G (24): D: 28
5. E (26): F: 39
6. D (28)
7. F (39)

ronde 5

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms