Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe wordt het handelsreizigersprobleem geclassificeerd?

  1. ADe beslissingsversie zit in P, maar de optimalisatieversie is NP-volledig
  2. BDe beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
  3. CHet is onbeslisbaar
  4. DHet zit in P, omdat het algoritme van Dijkstra het oplost door elke stad één keer te bezoeken
3.DatastructurenGemiddeld

AVL-bomen en rood-zwartbomen garanderen:

  1. AEen hoogte van O(log n) door herbalancering
  2. BDat sleutels in invoegvolgorde worden opgeslagen
  3. CZoeken in constante tijd in elk geval
  4. DDat geen enkele knoop twee kinderen heeft
4.DatastructurenMoeilijk

Het verwijderen van een knoop met twee kinderen uit een binaire zoekboom gebeurt meestal door:

  1. ADe hele subboom te verwijderen
  2. BHem te verwisselen met de wortel
  3. CHem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
  4. DDe deelboom eronder helemaal opnieuw op te bouwen en elke sleutel die erin zat opnieuw in te voegen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 10 hoekpunten en 17 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 10|E| = 17
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
754815612ABCDE

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n niveaus met elk constant werk, zoals bij een recursieve som van een array.

Antwoord

A · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

"Is er een route met lengte hoogstens k?" is NP-volledig; de kortste route vinden is NP-moeilijk, omdat dat minstens zo moeilijk is.

Antwoord

B · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een hoogte van O(log n) door herbalancering

Waarom dit het antwoord is

Zelfbalancerende bomen houden de hoogte logaritmisch, zodat zoeken, invoegen en verwijderen in het slechtste geval O(log n) zijn.

Antwoord

A · Een hoogte van O(log n) door herbalancering
4.Datastructuren

Antwoord: C · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen

Waarom dit het antwoord is

De in-order-opvolger heeft hoogstens één kind, dus hij kan eenvoudig worden verwijderd nadat zijn sleutel naar de te verwijderen knoop is gekopieerd.

Antwoord

C · Hem te vervangen door zijn in-order-opvolger (of -voorganger) en die knoop te verwijderen
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 8

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

10 − 1 = 9

Te verwijderen kanten

k = 17 − 9 = 8

Antwoord

k = 8
6.Grafentheorie

Antwoord: kant AC

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. BC (4)
2. AC (5)
3. DE (6)
4. BD (8)

kantnummer 2

AC

Antwoord

kant AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms