Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

AO(n)
BO(log n)
CO(n²)
DO(1)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Als je beide eindpunten van elke kant in een maximale koppeling neemt, krijg je een knoopoverdekking. Hoe goed is deze overdekking?

AHoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
BAltijd een minimale knoopoverdekking
CVan onbekende kwaliteit vergeleken met het optimum
DHoogstens log n keer het minimum

3.DatastructurenGemiddeld

Hoe wordt een nieuw element in een binaire heap ingevoegd?

APlaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
BBouw de hele heap opnieuw op
CPlaats het in de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
DVoeg het op de gesorteerde positie in door alle grotere elementen één plaats naar rechts te verschuiven

4.DatastructurenMoeilijk

Een object wordt als sleutel in een hashmap opgeslagen, waarna een veld dat de hashfunctie gebruikt wordt gewijzigd. Wat is het waarschijnlijke gevolg?

ADe map geeft een fout op het moment dat het veld verandert
BDe map verplaatst de sleutel automatisch naar zijn nieuwe bucket
CEr verandert niets, omdat de hash van een sleutel maar één keer wordt berekend wanneer het programma start
DHet object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₆? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₆

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

D · O(1)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking

Waarom dit het antwoord is

De koppelingskanten delen geen knopen, dus het optimum heeft minstens één knoop per kant nodig, terwijl deze methode er twee neemt: een 2-benadering.

Antwoord

A · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking

3.Datastructuren

Antwoord: A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt

Waarom dit het antwoord is

Toevoegen aan het eind houdt de boom compleet; verwisselen met de ouder herstelt de ordening in O(log n) stappen.

Antwoord

A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt

4.Datastructuren

Antwoord: D · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

Waarom dit het antwoord is

De plaats van de sleutel werd gekozen op basis van zijn oude hash; met een nieuwe hash zoeken lookups in de verkeerde bucket, dus sleutels moeten onveranderlijk zijn.

Antwoord

D · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 20

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 9, C: 4

C (4): E: 8, G: 5

G (5)

E (8): D: 17, F: 20

B (9): D: 14

D (14)

F (20)

Kortste pad

A → C → E → F

d(F) = 20

Antwoord

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms