Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom schakelen veel sorteerroutines in bibliotheken over op insertion sort voor heel kleine deelarrays?

  1. ARecursieve algoritmen kunnen geen arrays van minder dan 10 elementen aan
  2. BInsertion sort gebruikt voor grote invoer minder geheugen dan elk ander sorteeralgoritme
  3. CInsertion sort is in het slechtste geval O(n log n)
  4. DInsertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over de kleine-o-notatie is juist?

  1. An = o(n), omdat elke functie kleine o van zichzelf is
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n²), maar n is niet o(n)
  4. D2n = o(n), omdat 2n langzaam groeit
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de waarde van de postfixexpressie 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B24
  3. C11
  4. D14
4.DatastructurenMoeilijk

Een dynamische array verdubbelt als hij vol is. Waarom verkleinen veel implementaties hem pas als hij voor een kwart vol is, en niet voor de helft?

  1. AOm herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
  2. BOmdat halveren bij de helft elementen zou kwijtraken
  3. COmdat de geheugenbeheerder geheugen alleen in kwarten van een blok kan vrijgeven
  4. DOm de array gesorteerd te houden
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 34 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij E? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer

Waarom dit het antwoord is

Voor kleine n wint de eenvoudige lus van insertion sort van de recursie-overhead van quicksort of mergesort, ook al is insertion sort O(n²).

Antwoord

D · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · n = o(n²), maar n is niet o(n)

Waarom dit het antwoord is

f = o(g) betekent dat f(n) / g(n) naar 0 gaat; n / n² gaat naar 0, maar n / n = 1 niet.

Antwoord

C · n = o(n²), maar n is niet o(n)
3.Datastructuren

Antwoord: D · 14

Waarom dit het antwoord is

Push 3 en 4, + geeft 7; push 2, * geeft 7 × 2 = 14.

Antwoord

D · 14
4.Datastructuren

Antwoord: A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

Waarom dit het antwoord is

Verkleinen bij de helft zou in zo'n reeks bij elke bewerking een resize kunnen veroorzaken; de ruimte tussen 1/4 en vol houdt de geamortiseerde kosten O(1).

Antwoord

A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 17 = 2(L + 7) − 2
L = 5

Antwoord

L = 5

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: N = 3

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Antwoord

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms