Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom is een opzoeking in een hashtabel gemiddeld O(1) maar in het slechtste geval O(n)?

  1. AHashfuncties zijn traag
  2. BSleutels moeten eerst gesorteerd worden
  3. CArrays hebben O(n) toegang
  4. DVeel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.DatastructurenGemiddeld

Je hebt een verwijzing naar een knoop in het midden van een lijst. In welke lijst kun je die in O(1) verwijderen?

  1. AEen dynamische array
  2. BEen dubbel gekoppelde lijst
  3. CEen enkelvoudig gekoppelde lijst
  4. DEen gesorteerde array
4.DatastructurenMoeilijk

Wat doet een splay tree na elke toegang?

  1. AVerplaatst de benaderde knoop naar een blad
  2. BBouwt de hele boom gebalanceerd opnieuw op
  3. CRoteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
  4. DKleurt de knopen op het zoekpad opnieuw
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 3
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
119861318220ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt B. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4.

start: Bk = 4
  1. 1kant AC
  2. 2kant BC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

Het werk telt op tot ongeveer n² / 2; dit is de recurrente betrekking van selection sort of van quicksort met de slechtste pivot.

Antwoord

D · O(n²)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen

Waarom dit het antwoord is

Met een goede hashfunctie en bezettingsgraad (load factor) blijven buckets gemiddeld kort; kwaadwillende of slechte hashing kan alle sleutels in één bucket stoppen.

Antwoord

D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

Een dubbel gekoppelde knoop kent zijn voorganger, dus je kunt prev en next direct opnieuw koppelen; een enkelvoudig gekoppelde lijst moet de voorganger zoeken.

Antwoord

B · Een dubbel gekoppelde lijst
4.Datastructuren

Antwoord: C · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel

Waarom dit het antwoord is

Splaying brengt de benaderde knoop via rotaties naar de wortel; één bewerking kan O(n) kosten, maar de geamortiseerde kosten zijn O(log n).

Antwoord

C · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 4

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Antwoord

L = 4

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant EF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. BD (8)
2. BC (9)
3. CE (6)
4. EF (2)
5. AC (11)

kantnummer 4

EF

Antwoord

kant EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms