Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Quicksort gebruikt altijd het eerste element als pivot. Bij welke invoer vertoont het zijn worst-casegedrag?

  1. AEen array die al gesorteerd is
  2. BEen array van lengte 2
  3. CEen array in willekeurige volgorde
  4. DEen array waarvan alle elementen verschillend zijn
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke bewering over P en NP is juist?

  1. AEr is bewezen dat P ≠ NP
  2. BNP betekent "niet polynomiaal"
  3. COplossingen van NP-problemen kunnen niet snel worden geverifieerd
  4. DElk probleem in P zit ook in NP
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

  1. AArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
  2. BArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
  3. CGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op
  4. DEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn, zonder union by rank of path compression, de kosten in het slechtste geval van één find in een union-findstructuur met n elementen?

  1. AO(α(n))
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
6128915973714ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een array die al gesorteerd is

Waarom dit het antwoord is

Bij gesorteerde invoer is de pivot altijd het minimum, dus de ene kant is leeg en de andere heeft n − 1 elementen, wat O(n²) geeft.

Antwoord

A · Een array die al gesorteerd is
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Elk probleem in P zit ook in NP

Waarom dit het antwoord is

P ⊆ NP: als je een probleem snel kunt oplossen, kun je een oplossing ook snel verifiëren. Of P = NP is nog een open vraag.

Antwoord

D · Elk probleem in P zit ook in NP
3.Datastructuren

Antwoord: B · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

B · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Naïeve unions kunnen bomen tot een lange keten koppelen, zodat find n − 1 ouderpointers kan moeten volgen; de twee heuristieken brengen het bijna op constante tijd.

Antwoord

D · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 25

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 6
C (6): B: 18, E: 15, G: 9
G (9): B: 16, D: 16
E (15)
B (16)
D (16): F: 25
F (25)

Kortste pad

A → C → G → D → F
d(F) = 25

Antwoord

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms