Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

AHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
BEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
CElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
DHet probleem kan in constante tijd worden opgelost

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van het opbouwen van een binaire heap uit n ongesorteerde elementen met de bottom-upmethode?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n)

3.DatastructurenGemiddeld

Wat is het doel van een sentinelknoop (dummyknoop) in een gekoppelde lijst?

ADe lijst gesorteerd maken
BHet aantal elementen opslaan
CDe code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
DVoorkomen dat de lijst groeit voorbij een vast maximumaantal knopen

4.DatastructurenMoeilijk

Waarom zou een server zijn hashfunctie willekeurig kiezen uit een universele familie?

AOm te garanderen dat geen twee sleutels ooit botsen, welke sleutels een aanvaller ook stuurt
BOm het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen
COm de hashtabel gesorteerd te maken
DOm het vergroten van de tabel overbodig te maken

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 6 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 6

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

B · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het optellen van de sift-down-kosten over alle niveaus levert een convergente reeks op, dus heapify draait in lineaire tijd.

Antwoord

D · O(n)

3.Datastructuren

Antwoord: C · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen

Waarom dit het antwoord is

Met een sentinel heeft elke echte knoop een voorganger, dus invoegen of verwijderen aan de kop vraagt geen speciale behandeling.

Antwoord

C · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen

4.Datastructuren

Antwoord: B · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen

Waarom dit het antwoord is

Bij universal hashing is het verwachte aantal botsingen voor elke verzameling sleutels klein, omdat de aanvaller niet weet welke functie is gekozen.

Antwoord

B · Om het zeer onwaarschijnlijk te maken dat een aanvaller veel sleutels kan kiezen die allemaal botsen

5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit

6.Grafentheorie

Antwoord: G

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 3

2. B (3): C: 7, D: 5, G: 9

3. D (5): E: 6, F: 16

4. E (6)

5. C (7)

6. G (9)

7. F (16)

ronde 6

Antwoord

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms