Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. ADe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  2. BDe pivot uniform willekeurig kiezen
  3. CAltijd het eerste element kiezen
  4. DAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AAdjacency list
  2. BAdjacency matrix
  3. CEén gesorteerde array van knopen
  4. DEen binaire heap van kanten
4.DatastructurenMoeilijk

Een dynamische array verdubbelt als hij vol is. Waarom verkleinen veel implementaties hem pas als hij voor een kwart vol is, en niet voor de helft?

  1. AOm herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
  2. BOm de array gesorteerd te houden
  3. COmdat halveren bij de helft elementen zou kwijtraken
  4. DOmdat de geheugenbeheerder geheugen alleen in kwarten van een blok kan vrijgeven
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 3
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
2461311910151ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema domineert nlog₂ 2 = n het constante werk, dus T(n) = Θ(n), zoals bij het vinden van een maximum door in helften te splitsen.

Antwoord

A · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

B · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: A · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

A · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

Waarom dit het antwoord is

Verkleinen bij de helft zou in zo'n reeks bij elke bewerking een resize kunnen veroorzaken; de ruimte tussen 1/4 en vol houdt de geamortiseerde kosten O(1).

Antwoord

A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Antwoord

L = 5

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 23

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 2
C (2): B: 6
B (6): D: 12, G: 16
D (12): E: 25, F: 23
G (16): E: 17
E (17)
F (23)

Kortste pad

A → C → B → D → F
d(F) = 23

Antwoord

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms