Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoeveel niveaus heeft de recursie van mergesort voor een array van n elementen?

  1. AOngeveer n
  2. BOngeveer √n
  3. COngeveer n / 2
  4. DOngeveer log₂ n
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe detecteert het algoritme van Bellman-Ford een cykel met negatief gewicht die vanuit de bron bereikbaar is?

  1. AHet telt de cykels met diepte-eerst zoeken
  2. BHet voert het algoritme van Dijkstra twee keer uit en vergelijkt de twee afstandsresultaten
  3. CHet controleert of er een kant met negatief gewicht is
  4. DNa V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het zoeken naar een woord met lengte L in een trie met een vast alfabet?

  1. AO(n), waarbij n het aantal woorden is
  2. BO(L × n)
  3. CO(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
  4. DO(log n), waarbij n het aantal woorden is
4.DatastructurenMoeilijk

Welk paar doorlopen bepaalt altijd een unieke binaire boom met verschillende sleutels?

  1. AAlleen level-order
  2. BAlleen preorder
  3. CPreorder en postorder
  4. DPreorder en inorder
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1391315894ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ongeveer log₂ n

Waarom dit het antwoord is

Halveren van n tot 1 kost ongeveer log₂ n niveaus, en elk niveau doet O(n) samenvoegwerk, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

D · Ongeveer log₂ n
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd

Waarom dit het antwoord is

Alle echte kortste afstanden worden binnen V − 1 rondes gevonden; als een kant dan nog verbeterd kan worden, moet er een negatieve cykel bestaan.

Antwoord

D · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
3.Datastructuren

Antwoord: C · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen

Waarom dit het antwoord is

Elk teken kiest één kind, dus opzoeken kost L stappen, ongeacht hoeveel woorden de trie bevat.

Antwoord

C · O(L), onafhankelijk van hoeveel woorden er zijn opgeslagen
4.Datastructuren

Antwoord: D · Preorder en inorder

Waarom dit het antwoord is

Preorder geeft de wortel, en zijn positie in de inorder-reeks splitst de linker- en rechtersubboom; preorder met postorder is dubbelzinnig als een knoop één kind heeft.

Antwoord

D · Preorder en inorder
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Oneven hoekpunten

C, G → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 14

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 1, C: 3
B (1): D: 14, E: 5
C (3)
E (5): D: 13, F: 14
D (13)
F (14)

Kortste pad

A → B → E → F
d(F) = 14

Antwoord

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms