Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  2. BHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  3. CElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
  4. DHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over het selecteren van het k-de kleinste element van een ongesorteerde array is juist?

  1. ASelectie is alleen mogelijk in O(n²)
  2. BQuickselect loopt in het slechtste geval in O(log n), omdat het maar aan één kant van de pivot recursief verdergaat
  3. CSelectie heeft altijd Ω(n log n) nodig, omdat er gesorteerd moet worden
  4. DQuickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
3.DatastructurenGemiddeld

Bij welke methode voor het oplossen van botsingen worden botsende sleutels in een lijst in dezelfde bucket opgeslagen?

  1. ASeparate chaining (ketenen)
  2. BLineair proberen (linear probing)
  3. CKwadratisch proberen (quadratic probing)
  4. DDubbel hashen (double hashing)
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn de tijd- en extra geheugenkosten van het ter plaatse omkeren van een enkelvoudig gekoppelde lijst?

  1. AO(n) tijd en O(n) extra geheugen
  2. BO(1) tijd en O(1) extra geheugen
  3. CO(n) tijd en O(1) extra geheugen
  4. DO(n log n) tijd en O(1) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
171398182145ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 3
  1. 1kant AC
  2. 2kant BC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

Waarom dit het antwoord is

Het verwachte werk van quickselect is n + n/2 + n/4 + ... = O(n) met willekeurige pivots; door de pivot te kiezen als mediaan van medianen wordt het slechtste geval lineair.

Antwoord

D · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
3.Datastructuren

Antwoord: A · Separate chaining (ketenen)

Waarom dit het antwoord is

Chaining houdt per bucket een gekoppelde lijst (of een andere structuur) bij; open adressering zoekt een andere vrije plek in de tabel zelf.

Antwoord

A · Separate chaining (ketenen)
4.Datastructuren

Antwoord: C · O(n) tijd en O(1) extra geheugen

Waarom dit het antwoord is

Met drie pointers (vorige, huidige, volgende) kun je elke koppeling in één doorgang omkeren zonder nieuwe knopen te reserveren.

Antwoord

C · O(n) tijd en O(1) extra geheugen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 11

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Antwoord

L = 11

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant CE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. DF (2)
2. BE (5)
3. CE (8)
4. BD (9)
5. AC (17)

kantnummer 3

CE

Antwoord

kant CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms