Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de worst-case tijdcomplexiteit van quicksort?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Een probleem is NP-volledig als het:

  1. AOnmogelijk op te lossen is
  2. BIn NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
  3. CIn polynomiale tijd oplosbaar is
  4. DBuiten NP valt maar moeilijker is dan alle NP-problemen, zoals het stopprobleem
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur wordt gebruikt om te controleren of de haakjes in "{[()]}" in balans zijn?

  1. AEen queue
  2. BEen stack
  3. CEen binaire zoekboom
  4. DEen hashtabel
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke eigenschap moet een rood-zwartboom voldoen?

  1. AElke knoop moet rood zijn
  2. BRode knopen moeten rode kinderen hebben, dus rode knopen vormen altijd ononderbroken ketens tot de bladeren
  3. CDe wortel moet rood zijn
  4. DElk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 13 hoekpunten en 24 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 13|E| = 24
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
571620152126ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 3
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

Met steeds slechte pivots (bijv. al gesorteerde invoer en het eerste element als pivot) zijn de partities ongebalanceerd, wat O(n²) geeft. Het gemiddelde geval is O(n log n).

Antwoord

B · O(n²)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is

Waarom dit het antwoord is

NP-volledige problemen zijn de moeilijkste in NP; een polynomiaal algoritme voor één ervan zou er een opleveren voor heel NP.

Antwoord

B · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een stack

Waarom dit het antwoord is

Push elk openingshaakje en pop bij een sluithaakje; dat moet passen bij het gepopte haakje en de stack moet aan het eind leeg zijn.

Antwoord

B · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: D · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

Waarom dit het antwoord is

Rood-zwartregels: knopen zijn rood of zwart, de wortel is zwart, rode knopen hebben zwarte kinderen en alle paden hebben dezelfde zwarthoogte, waardoor de hoogte ≤ 2 log₂(n + 1) blijft.

Antwoord

D · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

13 − 1 = 12

Te verwijderen kanten

k = 24 − 12 = 12

Antwoord

k = 12
6.Grafentheorie

Antwoord: kant BE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. DF (2)
2. AB (5)
3. BE (6)
4. AC (7)
5. EF (12)

kantnummer 3

BE

Antwoord

kant BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms