Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

AO(n)
BO(n²)
CO(log n)
DO(1)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het algoritme van Held-Karp voor dynamisch programmeren lost het handelsreizigersprobleem exact op. Wat is de looptijd voor n steden?

AO(n² 2ⁿ)
BO(n³)
CO(n!)
DO(2^n²)

3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

A0,5
B1
C2
DEr is geen maximum

4.DatastructurenMoeilijk

Waarom kun je elementen niet zomaar uit een standaard-Bloomfilter verwijderen door hun bits te wissen?

AVerwijderen zou het percentage fout-positieven naar 100% verhogen
BDie bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken
CBloomfilters slaan de volledige elementen op, die na het hashen niet meer te vinden zijn
DBits in een Bloomfilter kunnen na het aanmaken niet worden veranderd

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₆? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₆

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F

d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

D · O(1)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n² 2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn ongeveer n 2ⁿ toestanden, die elk in O(n) worden berekend; dat is exponentieel, maar veel sneller dan alle (n − 1)! routes proberen.

Antwoord

A · O(n² 2ⁿ)

3.Datastructuren

Antwoord: B · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

B · 1

4.Datastructuren

Antwoord: B · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

Waarom dit het antwoord is

Het wissen van een gedeelde bit zou een ander element afwezig laten lijken; counting Bloom filters houden tellers bij in plaats van bits om verwijderen mogelijk te maken.

Antwoord

B · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 26

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 13

C (13): B: 25, E: 24, G: 19

G (19): B: 23, D: 31

B (23): D: 29

E (24): F: 26

F (26)

D (29)

Kortste pad

A → C → E → F

d(F) = 26

Antwoord

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms