Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Een gretig (greedy) algoritme:

  1. AMaakt bij elke stap de lokaal beste keuze
  2. BGebruikt alleen recursie
  3. CGeeft altijd de optimale oplossing
  4. DProbeert elke mogelijke oplossing
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. ADe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  2. BAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
  3. CAltijd het eerste element kiezen
  4. DDe pivot uniform willekeurig kiezen
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe vind je de kleinste sleutel in een binaire zoekboom?

  1. AVolg vanaf de wortel rechterkinderen tot er geen rechterkind meer is
  2. BKijk alleen naar de wortel
  3. CBezoek elk blad en vergelijk ze
  4. DVolg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is onder simple uniform hashing de verwachte zoektijd in een hashtabel met chaining, n sleutels en m buckets?

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α), waarbij α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
842015186109ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt E. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Ek = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze

Waarom dit het antwoord is

Gretige algoritmen zijn snel en optimaal voor sommige problemen (bijv. Dijkstra, Huffman-codering), maar niet in het algemeen (bijv. wisselgeld teruggeven bij sommige muntsystemen).

Antwoord

A · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

D · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: D · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop heeft geen kleinere sleutel in de boom, dus is hij het minimum; de kosten zijn evenredig met de hoogte.

Antwoord

D · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(1 + α), waarbij α = n / m

Waarom dit het antwoord is

Het berekenen van de hash kost O(1) en de verwachte ketenlengte is α, dus α begrensd houden door de tabel te vergroten geeft een verwachte tijd van O(1).

Antwoord

B · O(1 + α), waarbij α = n / m
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: kant DF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. BE (9)
2. AB (8)
3. AC (4)
4. EF (10)
5. DF (6)

kantnummer 5

DF

Antwoord

kant DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms