Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  2. BElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
  3. CHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  4. DHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Insertion sort loopt in O(n) op gesorteerde invoer. Is dit in tegenspraak met de ondergrens Ω(n log n) voor sorteren met vergelijkingen?

  1. ANee, omdat insertion sort geen sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen is
  2. BNee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
  3. CJa, maar alleen voor arrays korter dan 100
  4. DJa, de ondergrens is dus fout
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het zoeken naar een sleutel in een gebalanceerde binaire zoekboom?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe lang duurt het zoeken naar een willekeurige sleutel in een binaire min-heap van n elementen?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log log n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 20 hoekpunten en 23 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 20|E| = 23
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
137121021139131ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(E) van het kortste pad van A naar E in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: E
d(E) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer

Waarom dit het antwoord is

De grens zegt dat elk sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen op een of andere invoer van grootte n ongeveer n log n vergelijkingen nodig heeft; speciale invoeren kunnen veel sneller zijn.

Antwoord

B · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde boom heeft een hoogte van ongeveer log₂ n, dus een zoekactie volgt één pad van de wortel naar een blad.

Antwoord

D · O(log n)
4.Datastructuren

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Een heap geeft geen regel voor welke subboom een sleutel bevat, dus in het slechtste geval moeten alle knopen worden gecontroleerd; alleen het minimum is snel te vinden.

Antwoord

C · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 4

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

20 − 1 = 19

Te verwijderen kanten

k = 23 − 19 = 4

Antwoord

k = 4
6.Grafentheorie

Antwoord: d(E) = 9

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 13, C: 7
C (7): E: 9
E (9): D: 20, G: 10
G (10)
B (13)
D (20): F: 23
F (23)

Kortste pad

A → C → E
d(E) = 9

Antwoord

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms