Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom schakelen veel sorteerroutines in bibliotheken over op insertion sort voor heel kleine deelarrays?

  1. AInsertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
  2. BInsertion sort is in het slechtste geval O(n log n)
  3. CRecursieve algoritmen kunnen geen arrays van minder dan 10 elementen aan
  4. DInsertion sort gebruikt voor grote invoer minder geheugen dan elk ander sorteeralgoritme
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het algoritme van Strassen vermenigvuldigt matrices met 7 in plaats van 8 recursieve vermenigvuldigingen van blokken van halve grootte. Wat is de looptijd?

  1. AΘ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n2)
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

  1. AEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)
  2. BArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
  3. CGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op
  4. DArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
4.DatastructurenMoeilijk

Een Bloom-filter kan de vraag "zit dit element in de verzameling?" beantwoorden met:

  1. AMogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
  2. BAlleen antwoorden voor getallen
  3. CMogelijke fout-negatieven maar geen fout-positieven
  4. DAltijd exacte antwoorden
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
13579212151ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt F. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2.

start: Fk = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer

Waarom dit het antwoord is

Voor kleine n wint de eenvoudige lus van insertion sort van de recursie-overhead van quicksort of mergesort, ook al is insertion sort O(n²).

Antwoord

A · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81

Waarom dit het antwoord is

Met a = 7 en b = 2 domineert nlog₂ 7 het O(n²)-optelwerk, wat ongeveer n2,81 geeft.

Antwoord

A · Θ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81
3.Datastructuren

Antwoord: B · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

B · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
4.Datastructuren

Antwoord: A · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven

Waarom dit het antwoord is

Als een van de bits voor een element 0 is, ontbreekt het zeker; als ze allemaal 1 zijn, is het waarschijnlijk aanwezig. Bloom-filters ruilen nauwkeurigheid in voor heel weinig geheugen.

Antwoord

A · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

A, B, C, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: kant DE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. DF (12)
2. DE (2)
3. BE (1)
4. CE (9)
5. AC (5)

kantnummer 2

DE

Antwoord

kant DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms