Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke grens is juist voor log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n)
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  2. BVerwijder het laatste element van de array
  3. CVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
  4. DZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
4.DatastructurenMoeilijk

In een circulaire buffer kan front == rear zowel leeg als vol betekenen. Wat is een gangbare manier om ze te onderscheiden?

  1. AHoud een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
  2. BMaak de buffer altijd leeg als front gelijk is aan rear, zodat de toestand leeg is
  3. CMaak de buffergrootte een macht van twee
  4. DSla front en rear op in dezelfde variabele
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
532137118105ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Het probleem halveert bij elke stap met constant werk per stap, dus er zijn ongeveer log₂ n stappen.

Antwoord

C · O(log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(n log n)

Waarom dit het antwoord is

log(n!) ≤ n log n, en de grootste n / 2 factoren geven log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); daarom heeft sorteren met vergelijkingen Ω(n log n) nodig.

Antwoord

A · Θ(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: A · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt

Waarom dit het antwoord is

Met een teller betekent leeg count = 0 en vol count = capaciteit; met één lege plaats wordt vol gedefinieerd als (rear + 1) mod n == front.

Antwoord

A · Houd een apart aantal elementen bij, of laat altijd één plaats ongebruikt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 5, C: 3
2. C (3): E: 10
3. B (5): D: 18
4. E (10): F: 20
5. D (18)
6. F (20)

ronde 4

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms