Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat meet geamortiseerde analyse?

  1. ADe gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
  2. BDe kosten van de ene duurste bewerking ergens in de reeks
  3. CDe kosten van een algoritme bij de beste invoer
  4. DDe verwachte kosten over willekeurige invoer
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. AAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
  2. BDe pivot uniform willekeurig kiezen
  3. CDe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  4. DAltijd het eerste element kiezen
3.DatastructurenGemiddeld

Waar staat in een binaire heap die in een array vanaf index 0 is opgeslagen de ouder van de knoop op index i?

  1. AOp index ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BOp index 2i + 1
  3. COp index ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DOp index i − 1
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe lang duurt het zoeken naar een willekeurige sleutel in een binaire min-heap van n elementen?

  1. AO(log n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel wandelingen van lengte 3 gaan van B naar D? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen

Waarom dit het antwoord is

Geamortiseerde analyse spreidt de kosten van zeldzame dure bewerkingen over veel goedkope, wat een gegarandeerd gemiddelde geeft voor elke reeks.

Antwoord

A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

B · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: C · Op index ⌊(i − 1) / 2⌋

Waarom dit het antwoord is

De kinderen van i staan op 2i + 1 en 2i + 2, dus de ouder van i staat op ⌊(i − 1) / 2⌋; bij indexering vanaf 1 is het ⌊i / 2⌋.

Antwoord

C · Op index ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Datastructuren

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Een heap geeft geen regel voor welke subboom een sleutel bevat, dus in het slechtste geval moeten alle knopen worden gecontroleerd; alleen het minimum is snel te vinden.

Antwoord

C · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Oneven hoekpunten

C, E, F, G → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 6

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Nog één stap

(M³)BD = 1·0 + 4·1 + 2·0 + 1·0 + 2·1 = 6

Antwoord

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms