Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het vermenigvuldigen van twee n × n-matrices met de standaard drievoudige lus?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n² log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zou er volgen als iemand een algoritme in polynomiale tijd vond voor één NP-volledig probleem?

  1. AElk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
  2. BAlleen dat ene probleem zou naar P verhuizen
  3. CAlle algoritmen met exponentiële tijd zouden meteen in lineaire tijd lopen
  4. DHet stopprobleem zou beslisbaar worden
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt diepte-eerst zoeken (DFS) in de iteratieve versie?

  1. AEen stack
  2. BEen queue
  3. CAlleen een hashtabel
  4. DEen heap
4.DatastructurenMoeilijk

Welke bewerkingen ondersteunt een Fenwick-boom (binary indexed tree) over een array van n getallen in O(log n)?

  1. ADe array sorteren en binair zoeken
  2. BDe mediaan vinden in O(1)
  3. CElementen op elke positie invoegen
  4. DPrefixsomquery's en updates van één element
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K7? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K7
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
131244138847ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n³)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n² elementen en elk heeft n vermenigvuldigingen nodig, wat n³ bewerkingen geeft.

Antwoord

B · O(n³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP

Waarom dit het antwoord is

Omdat heel NP in polynomiale tijd reduceert tot elk NP-volledig probleem, geeft een snel algoritme voor één ervan een snel algoritme voor alle.

Antwoord

A · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een stack

Waarom dit het antwoord is

DFS gaat zo diep mogelijk en gebruikt daardoor vanzelf een stack (of de call stack van de recursie); BFS gebruikt een queue.

Antwoord

A · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: D · Prefixsomquery's en updates van één element

Waarom dit het antwoord is

Een Fenwick-boom slaat deelsommen op over bereiken die worden bepaald door de lage bits van elke index, zodat zowel prefixsommen als puntupdates O(log n) kosten.

Antwoord

D · Prefixsomquery's en updates van één element
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 360

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwoord

H = 360
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 34

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 13
C (13): E: 17, G: 21
E (17): D: 21
D (21): B: 33, F: 34
G (21): B: 29
B (29)
F (34)

Kortste pad

A → C → E → D → F
d(F) = 34

Antwoord

d(F) = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms