Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 40 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Vind de stroom IR2 door R2.
Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.
Gebruik de knooppuntmethode om de stroom IR3 door R3 in de richting van de pijl te vinden.
De spanningsbron Vₛ tussen A en B heeft haar +-klem bij A, dus ze legt VA − VB = Vₛ vast. Gebruik de knooppuntmethode met een superknooppunt om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik de maasmethode om de maasstroom I2 (met de klok mee) te vinden.
Gebruik de maasmethode om de spanning VR1 over R1 met de aangegeven polariteit te vinden.
Vind de waarde van de stroombron Is (richting zoals getekend) waarbij de stroom IR3 door R3 gelijk is aan nul.
Vind de waarde van de spanningsbron V2 (polariteit zoals getekend) waarbij de stroom IR3 door R3 gelijk is aan nul.
Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.
Vind de Norton-stroom IN: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.
De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning vL over de spoel op t = 15 ms.
Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 8 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 8,7 V bereikt? Vind t.
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 100 Hz. Vind de effectieve stroom I.
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 500 Hz. Vind de effectieve stroom I.
Een eenfasige motor neemt 27 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,85 uit een voeding van 400 V. Vind de lijnstroom I.
Een eenfasige belasting neemt 10 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 220 µF aangesloten. Vind de nieuwe lijnstroom I.
Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 16 + j12 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
Een symmetrische driefasige belasting neemt 80 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
Op de primaire wikkeling van een ideale transformator met wikkelverhouding N₁:N₂ = 20:1 staat 4600 V. Over de secundaire wikkeling is een weerstand van 4 Ω aangesloten. Vind de primaire stroom I1.
Een eenfasetransformator van 200 kVA heeft een ijzerverlies van 600 W. Bij nominale belasting en een inductieve arbeidsfactor van 0,9 is het rendement 98,5%. Vind het koperverlies bij vollast Pcu,fl in watt.
De verschilversterker gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V, met R3 = R1 en R4 = R2. Vind de uitgangsspanning Vout.
De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. De weerstandsverhoudingen zijn niet op elkaar afgestemd. Vind de uitgangsspanning Vout.
2 geel leds (doorlaatspanning 2,1 V per stuk) staan in serie met een weerstand op een voeding van 12 V. Bepaal de weerstand R die de stroom op 15 mA instelt.
Een diode wordt gemodelleerd als 0,7 V in serie met 10 Ω (hij geleidt boven 0,7 V). Hij staat in serie met een weerstand van 220 Ω over een voeding van 5 V. Bepaal de werkpuntstroom ID waar de diodelijn de belastinglijn snijdt.
Stel de bits zo in dat ze −68 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?
Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 0011 0010 >> 1. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?
Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale product-van-sommenvorm (POS) van F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 8, 12, 15) te vinden. Hoeveel somtermen (factoren) N heeft die?
Bepaal de minimale SOP-vorm van F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 14) + d(0, 11), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft. Hoeveel productermen N heeft die?
Bepaal f(t) voor F(s) = (2s + 38)/(s² + 8s + 16) en bereken f(0,3).
Een systeem voldoet aan y″ + 5y′ + 4y = 2·u(t). Het begint in rust (y(0) = 0, y′(0) = 0) en de ingang is een stap u(t) = 2 voor t ≥ 0. Gebruik de Laplacetransformatie om de uitgang y(0,5) te bepalen.
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = 12(s + 2)/((s + 4)(s + 8)). Op de referentie wordt een stap van grootte 5 aangelegd. Bepaal de stationaire fout ess.
Het proces G(s) = K/((s + 5)(s + 6)(s + 7)) staat in een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling. Gebruik het criterium van Routh–Hurwitz om de grootste versterking Kmax te vinden waarvoor de gesloten lus stabiel is.
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 87/(s² + 3s + 29) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Bepaal de piektijd tp van de stapresponsie.
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/(s(s + 16)). Bepaal de versterking K die een stapresponsie met 5 % overshoot geeft.
Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 32(s + 14)/(s(s + 2)) bij ω = 10 rad/s, in graden.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 104/(s(s + 8)). Bepaal de fasemarge PM in graden.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft L(s) = K(s + 8)/(s(s + 2)(s + 4)), met K > 0. Bepaal de grootste versterking Kmax waarvoor de gesloten lus stabiel is.
De wortelbaan van L(s) = K/((s + 4)(s + 12)) is weergegeven. Bepaal de versterking K in het vertrekpunt sb, waar de twee gesloten-luspolen op de reële as samenkomen.
De parabolische ingang r(t) = 1·t²/2 wordt aangelegd op een lus met eenheidsterugkoppeling met G(s) = 20(s + 5)/(s²(s + 1)). Bepaal de stationaire fout ess.
Een PI-regelaar C(s) = 1 + 2/s stuurt het proces G(s) = 4/((s + 1)(s + 5)) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. Bepaal de stationaire fout ess voor de hellingsingang r(t) = 1t.
Antwoord: IR2 = 2,298 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.
Antwoord: Req = 28,61 Ω
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
Antwoord: IR3 = 1,031 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Massa is de onderste draad. Bekende knooppuntspanningen volgen direct uit de bronnen (V1 = 30 V). Onbekenden: VA, VB.
De stromen die A via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in A sturen.
De stromen die B via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in B sturen.
Antwoord: IR1 = 0,9545 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
De spanningsbron tussen A en B voert een onbekende stroom, dus je kunt de stroomwet niet afzonderlijk in A of B opschrijven. Neem A, B en de bron samen in één superknooppunt: de stroom die erin gaat is gelijk aan de stroom die eruit komt.
Een negatieve uitkomst betekent dat de werkelijke stroom tegen de pijl in loopt.
Antwoord: I2 = −1,538 A
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: VR1 = 2,651 V
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2, I3. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: Is = 1,25 A
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
Iₛ wordt een open circuit, dus R₃ en R₄ vormen één serietak van A naar massa, parallel aan R₂.
V₁ wordt een kortsluiting, dus R₁ ∥ R₂ hangt tussen A en massa. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ en de weg R₃ + R₁∥R₂; het deel door R₃ stroomt van B naar A, tegen de pijl in.
Antwoord: V2 = 26 V
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
V₂ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. Gezien vanuit A staat R₃ parallel aan het seriepaar R₂+R₄.
Beide spanningsbronnen worden kortsluitingen. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ (nu naar massa) en R₂ in serie met R₁ ∥ R₃. De pijl van Iₛ wijst omlaag, van zijn knooppunt af, dus Iₛ trekt stroom uit dat knooppunt: de term komt erin met een minteken.
V₁ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. R₁ ∥ R₃ hangt aan A, in serie met R₂ terug naar B.
Met VA = 0 staat er geen spanning over R₃, dus de stroom erdoor is nul.
Antwoord: Vth = 10,59 V
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.
Antwoord: IN = 4,048 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.
Antwoord: vL = 2,231 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.
Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.
Antwoord: t = 180,1 ms
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.
Antwoord: I = 0,1533 A
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.
Antwoord: I = 0,03066 A
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.
Antwoord: I = 79,41 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.
Antwoord: I = 52,61 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Antwoord: P = 6,4 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
Antwoord: QC = 54,78 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Antwoord: I1 = 2,875 A
Ideale transformator: de spanningen verhouden zich als de windingaantallen en de stromen omgekeerd: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a en I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, dus het opgenomen vermogen is gelijk aan het afgegeven vermogen, V₁·I₁ = V₂·I₂. Een belastingsimpedantie Z aan de secundaire kant lijkt vanaf de primaire kant a²·Z.
Een ideale transformator heeft geen verliezen: V₁·I₁ = V₂·I₂.
Controle: de belasting gezien vanaf de primaire kant is a²·RL = 1600 Ω, en 4600/1600 geeft dezelfde stroom.
Antwoord: Pcu,fl = 2141 W
Transformatorverliezen: het ijzerverlies (hysterese en wervelstromen) hangt af van de spanning en is bij elke belasting gelijk. Het koperverlies in de wikkelingen gaat met het kwadraat van de stroom, dus bij een fractie x van de nominale belasting is het x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), met Pout = x·S·pf. Het rendement is het hoogst bij de belasting waarbij het koperverlies gelijk is aan het ijzerverlies.
Antwoord: Vout = 1,064 V
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
R₃ en R₄ voeren dezelfde stroom, dus ze vormen een spanningsdeler; de terugkoppeling maakt V₋ = V₊.
Antwoord: Vout = −1,695 V
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
Met V₂ = 0 ziet V₁ een inverterende versterker. Met V₁ = 0 wordt V₊ versterkt met de niet-inverterende versterking 1 + R₂/R₁.
Antwoord: R = 520 Ω
Led- en diodeschakelingen: een in doorlaatrichting geschakelde led laat ongeveer zijn doorlaatspanning VF vallen (ongeveer 2 V voor rood, 3 V voor blauw of wit), ongeacht de stroom. Een serieweerstand stelt de stroom in: R = (Vs − n·VF)/I voor n leds in serie. Met een nauwkeuriger diodemodel V = V₀ + I·rd ligt het werkpunt waar de diodelijn de belastinglijn I = (Vs − V)/R snijdt, dus I = (Vs − V₀)/(R + rd).
De weerstand dissipeert 117 mW.
Antwoord: ID = 18,7 mA
Led- en diodeschakelingen: een in doorlaatrichting geschakelde led laat ongeveer zijn doorlaatspanning VF vallen (ongeveer 2 V voor rood, 3 V voor blauw of wit), ongeacht de stroom. Een serieweerstand stelt de stroom in: R = (Vs − n·VF)/I voor n leds in serie. Met een nauwkeuriger diodemodel V = V₀ + I·rd ligt het werkpunt waar de diodelijn de belastinglijn I = (Vs − V)/R snijdt, dus I = (Vs − V₀)/(R + rd).
Antwoord: U = 188
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Antwoord: R = 25
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Naar rechts schuiven met 1 verplaatst elke bit 1 plaatsen naar rechts; bits die rechts uit beeld vallen gaan verloren en links komen nullen binnen.
Antwoord: N = 5
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.
Er bestaat een andere groepering van dezelfde grootte; die heeft hetzelfde aantal termen en literals.
Antwoord: N = 3
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.
Antwoord: f(0.3) = 3,313
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: y(0.5) = 0,2364
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: ess = 2,857
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: Kmax = 1716
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Alle elementen van de eerste kolom moeten positief zijn.
Antwoord: tp = 0,6074 s
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: K = 134,4
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwoord: ∠G(jω) = −133,2 °
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: PM = 42,39 °
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: Kmax = 24
Routh–Hurwitz-criterium: een lineair systeem is stabiel als elke wortel van zijn karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak van het s-vlak ligt. Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel. Elk element van een nieuwe rij volgt uit de twee rijen erboven; voor een derdegraads a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ is het s¹-element b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak. Met een versterking K in de coëfficiënten moet elk element van de eerste kolom positief blijven: de versterking waarbij het s¹-element nul wordt, is de stabiliteitsgrens, en de s²-rij geeft dan de frequentie van de aanhoudende oscillatie.
Met de zero rechts van s = −6 zou de lus stabiel blijven voor elke K > 0.
Antwoord: K = 16
Wortelbaan: als de versterking K van 0 naar ∞ gaat, bewegen de gesloten-luspolen, de wortels van 1 + K·G(s) = 0, van de open-luspolen naar de open-luszeros of naar oneindig. Een punt op de reële as hoort bij de wortelbaan als het aantal reële polen en zeros rechts ervan oneven is. De n − m takken die naar oneindig gaan, volgen asymptoten onder de hoeken (2q + 1)·180°/(n − m), die beginnen in het zwaartepunt σₐ = (Σ polen − Σ zeros)/(n − m). Takken verlaten of bereiken de reële as waar dK/ds = 0. De hoekvoorwaarde ∠G(s) = 180° bepaalt de vorm, en de modulusvoorwaarde K = 1/|G(s)| geeft de versterking in elk punt van de wortelbaan.
dK/ds = 0 voor K = −(s + 4)(s + 12) geeft 2s + 16 = 0.
Bij deze versterking is de gesloten lus kritisch gedempt (ζ = 1).
Antwoord: ess = 0,01
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Antwoord: ess = 0,625
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
s·C(s) = 1s + 2 → 2 voor s → 0.
De PI-regelaar neemt de stapfout volledig weg; een helling wordt gevolgd met een constante achterstand.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical