Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 40 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.
Vind de stroom IR2 door R2.
Gebruik de knooppuntmethode om de knooppuntspanning VB (gemeten ten opzichte van massa) te vinden.
Gebruik de knooppuntmethode om de stroom IR4 door R4 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik de maasmethode om de stroom IR2 door R2 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik de maasmethode om de stroom IR2 door R2 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik superpositie om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik superpositie om de stroom IR3 door R3 in de richting van de pijl te vinden.
Vind de Thévenin-weerstand Rth gezien vanaf de klemmen a–b.
Vind de Norton-stroom IN: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.
De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning vC op t = 60 ms.
Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 8 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning vC op t = 300 ms.
Een serie-RLC-schakeling met L = 1 mH moet resoneren bij 50 Hz. Vind de benodigde capaciteit C.
Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 12 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning VL over de spoel.
Een inductieve belasting neemt 16 A en 1632 W op uit een eenfasige voeding van 120 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.
Een eenfasige belasting neemt 7 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 230 V, 50 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 330 µF aangesloten. Vind de nieuwe lijnstroom I.
Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 15 + j20 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 415 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
Een symmetrische driefasige belasting neemt 100 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
Op de primaire wikkeling van een ideale transformator met wikkelverhouding N₁:N₂ = 5:1 staat 1200 V. Over de secundaire wikkeling is een weerstand van 20 Ω aangesloten. Vind de primaire stroom I1.
Een eenfasetransformator van 150 kVA heeft een ijzerverlies van 1200 W en een koperverlies van 1800 W bij nominale belasting. Hij levert 50% van zijn nominale kVA bij een inductieve arbeidsfactor van 0,85. Vind de totale verliezen Ploss in watt bij deze belasting.
Kies de terugkoppelweerstand Rf die deze niet-inverterende versterker een spanningsversterking van 6 geeft.
De integrator gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V; de uitgang verzadigt bij ±12 V. De condensator is ongeladen als op t = 0 een constante ingang Vin = 2,4 V wordt aangelegd. Hoe lang na t = 0 bereikt de uitgang de verzadiging? Vind t.
Een NPN-transistor met β = 100 wordt ingesteld met een spanningsdeler vanaf VCC = 20 V: R₁ = 56 kΩ van VCC naar de basis en R₂ = 12 kΩ van de basis naar massa. De collectorweerstand is RC = 2,7 kΩ en de emitterweerstand is RE = 470 Ω. Neem VBE = 0,7 V en gebruik het Thévenin-equivalent van de deler (verwaarloos de basisstroom niet). Vind de collector-emitterspanning VCE.
Een diode wordt gemodelleerd als 0,65 V in serie met 50 Ω (hij geleidt boven 0,65 V). Hij staat in serie met een weerstand van 470 Ω over een voeding van 9 V. Bepaal de werkpuntstroom ID waar de diodelijn de belastinglijn snijdt.
Het 8-bits patroon 0111 1001 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?
Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 0101 1101 AND 1011 1100. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?
Vereenvoudig F = ABC + AC′ + AB′ tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?
Een mod-25-teller is gebouwd met het minimale aantal flip-flops. Hoeveel van de mogelijke toestanden U worden nooit gebruikt?
Bepaal f(t) voor F(s) = (4s + 39)/(s² + 8s + 20) door het kwadraat af te splitsen, en bereken f(0,25).
Een systeem voldoet aan y″ + 5y′ + 6y = 12·u(t). Het begint in rust (y(0) = 0, y′(0) = 0) en de ingang is een stap u(t) = 1 voor t ≥ 0. Gebruik de Laplacetransformatie om de uitgang y(0,4) te bepalen.
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = 54/(s(s + 6)). De referentie is een helling r(t) = 1·t. Bepaal de stationaire fout ess.
Het proces G(s) = K/(s(s + 4)(s + 9)) staat in een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling. Bij de grootste stabiele versterking oscilleert de lus. Bepaal de oscillatiefrequentie ω in rad/s.
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 285/(s² + 15s + 95) en krijgt een eenheidsstap als ingang. De polen zijn s = σ ± jωd. Bepaal het reële deel σ.
Een tweede-ordesysteem zonder nullen moet een stapresponsie hebben met 5 % overshoot. Bepaal de dempingsfactor ζ.
Het getoonde RL-laagdoorlaatfilter heeft R = 1000 Ω, L = 22 mH. Er wordt een sinusvormige ingang van 36 kHz aangelegd. Bepaal de versterking |H| = |vout/vin| in dB.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 908/(s(s + 8)(s + 10)). Bepaal de faseomslagfrequentie ω180, waar ∠L(jω) = −180°.
De lus in het schema heeft de open-lusoverdrachtsfunctie L(s) = K/(s(s + 1)(s + 10)). Bepaal de grootste versterking Kmax waarvoor de gesloten lus stabiel is.
De wortelbaan van L(s) = K/((s + 4)(s + 12)) is weergegeven. Bepaal de versterking K in het vertrekpunt sb, waar de twee gesloten-luspolen op de reële as samenkomen.
Een lus met eenheidsterugkoppeling met G(s) = K/(s(s + 5)) moet de helling r(t) = 10t volgen met een stationaire fout van 0,1. Bepaal de versterking K.
Een PI-regelaar C(s) = Kp + Ki/s stuurt het proces G(s) = 4/(s + 2) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. De gesloten lus moet ωₙ = 6 rad/s en ζ = 0,7 hebben. Bepaal de proportionele versterking Kp.
Antwoord: IR1 = 0,791 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
Antwoord: IR2 = 0,4312 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.
Antwoord: VB = 20,49 V
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Massa is de onderste draad. Bekende knooppuntspanningen volgen direct uit de bronnen (V1 = 9 V). Onbekenden: VA, VB.
De stromen die A via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in A sturen.
De stromen die B via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in B sturen.
Antwoord: IR4 = 0,8631 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Massa is de onderste draad. Bekende knooppuntspanningen volgen direct uit de bronnen (V1 = 12 V, V2 = −5 V). Onbekenden: VA, VB.
De stromen die A via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in A sturen.
De stromen die B via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in B sturen.
Antwoord: IR2 = −0,5375 A
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: IR2 = 0,7552 A
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2, I3. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: IR1 = −0,1528 A
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
Iₛ wordt een open circuit, dus R₃ en R₄ vormen één serietak van A naar massa, parallel aan R₂.
V₁ wordt een kortsluiting, dus R₁ staat parallel aan R₂. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ en het pad via R₃.
Een negatief resultaat betekent dat in werkelijkheid de stroom tegen de pijl in loopt.
Antwoord: IR3 = 2,565 A
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
V₂ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. Gezien vanuit A staat R₃ parallel aan het seriepaar R₂+R₄.
Beide spanningsbronnen worden kortsluitingen. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ (nu naar massa) en R₂ in serie met R₁ ∥ R₃.
V₁ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. R₁ ∥ R₃ hangt aan A, in serie met R₂ terug naar B.
Een negatief resultaat betekent dat in werkelijkheid de stroom tegen de pijl in loopt.
Antwoord: Rth = 14,4 Ω
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Antwoord: IN = 1,775 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.
Antwoord: vC = 3,112 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Sluit de bron kort om Rth te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.
Antwoord: vC = 11,42 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.
Antwoord: C = 10132 µF
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC).
Antwoord: VL = 170,6 V
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.
Dit is Q = 14,21 keer de voedingsspanning.
Antwoord: X = 3,951 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Antwoord: I = 32,62 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Antwoord: P = 12,4 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
Antwoord: Cph = 764,3 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.
Antwoord: I1 = 2,4 A
Ideale transformator: de spanningen verhouden zich als de windingaantallen en de stromen omgekeerd: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a en I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, dus het opgenomen vermogen is gelijk aan het afgegeven vermogen, V₁·I₁ = V₂·I₂. Een belastingsimpedantie Z aan de secundaire kant lijkt vanaf de primaire kant a²·Z.
Een ideale transformator heeft geen verliezen: V₁·I₁ = V₂·I₂.
Controle: de belasting gezien vanaf de primaire kant is a²·RL = 500 Ω, en 1200/500 geeft dezelfde stroom.
Antwoord: Ploss = 1650 W
Transformatorverliezen: het ijzerverlies (hysterese en wervelstromen) hangt af van de spanning en is bij elke belasting gelijk. Het koperverlies in de wikkelingen gaat met het kwadraat van de stroom, dus bij een fractie x van de nominale belasting is het x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), met Pout = x·S·pf. Het rendement is het hoogst bij de belasting waarbij het koperverlies gelijk is aan het ijzerverlies.
Het ijzerverlies is bij elke belasting gelijk.
Het rendement bij deze belasting is η = 97,48%.
Antwoord: Rf = 50 kΩ
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
V₋ = V₊ = Vin, en de stroom door R₁ loopt ook door Rf, dus Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Antwoord: t = 0,5 ms
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
kΩ maal µF geeft milliseconden.
Antwoord: VCE = 4,338 V
Instelpunt van een BJT: in het actieve gebied is VBE = 0,7 V, IC = β·IB en IE = (β + 1)·IB. Bepaal IB uit de basislus met de spanningswet, dan IC, en dan VCE uit de collector-emitterlus. Een spanningsdeler aan de basis wordt vervangen door zijn Thévenin-equivalent VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂), RTH = R₁∥R₂; een emitterweerstand telt in de basislus (β + 1) keer zo zwaar.
Spanningswet langs de basislus; de emitterstroom is (β + 1)·IB.
Antwoord: ID = 16,06 mA
Led- en diodeschakelingen: een in doorlaatrichting geschakelde led laat ongeveer zijn doorlaatspanning VF vallen (ongeveer 2 V voor rood, 3 V voor blauw of wit), ongeacht de stroom. Een serieweerstand stelt de stroom in: R = (Vs − n·VF)/I voor n leds in serie. Met een nauwkeuriger diodemodel V = V₀ + I·rd ligt het werkpunt waar de diodelijn de belastinglijn I = (Vs − V)/R snijdt, dus I = (Vs − V₀)/(R + rd).
Antwoord: N = 121
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
De andere bits houden hun gewone positieve waarde.
Antwoord: R = 28
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
AND geeft alleen 1 waar beide bits 1 zijn.
Antwoord: L = 1
Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.
Antwoord: U = 7
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Antwoord: f(0.25) = 3,32
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: y(0.4) = 0,5088
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: ess = 0,1111
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: ω = 6 rad/s
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Alle elementen van de eerste kolom moeten positief zijn.
Antwoord: σ = −7,5
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: ζ = 0,6901
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwoord: |H| = −14,11 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: ω180 = 8,944 rad/s
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: Kmax = 110
Routh–Hurwitz-criterium: een lineair systeem is stabiel als elke wortel van zijn karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak van het s-vlak ligt. Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel. Elk element van een nieuwe rij volgt uit de twee rijen erboven; voor een derdegraads a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ is het s¹-element b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak. Met een versterking K in de coëfficiënten moet elk element van de eerste kolom positief blijven: de versterking waarbij het s¹-element nul wordt, is de stabiliteitsgrens, en de s²-rij geeft dan de frequentie van de aanhoudende oscillatie.
Elk element van de eerste kolom moet positief zijn.
Bij K = 110 oscilleert de gesloten lus met ω = √10 = 3,162 rad/s.
Antwoord: K = 16
Wortelbaan: als de versterking K van 0 naar ∞ gaat, bewegen de gesloten-luspolen, de wortels van 1 + K·G(s) = 0, van de open-luspolen naar de open-luszeros of naar oneindig. Een punt op de reële as hoort bij de wortelbaan als het aantal reële polen en zeros rechts ervan oneven is. De n − m takken die naar oneindig gaan, volgen asymptoten onder de hoeken (2q + 1)·180°/(n − m), die beginnen in het zwaartepunt σₐ = (Σ polen − Σ zeros)/(n − m). Takken verlaten of bereiken de reële as waar dK/ds = 0. De hoekvoorwaarde ∠G(s) = 180° bepaalt de vorm, en de modulusvoorwaarde K = 1/|G(s)| geeft de versterking in elk punt van de wortelbaan.
dK/ds = 0 voor K = −(s + 4)(s + 12) geeft 2s + 16 = 0.
Bij deze versterking is de gesloten lus kritisch gedempt (ζ = 1).
Antwoord: K = 500
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Een grote versterking maakt deze lus zeer licht gedempt: ζ = 0,1118. Dat conflict is de reden dat compensatoren worden gebruikt.
Antwoord: Kp = 1,6
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
1 + C(s)G(s) = 0, vermenigvuldigd met s(s + 2).
De integrerende term maakt de lus type 1, dus een stap wordt zonder stationaire fout gevolgd.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical