Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 40 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.
Vind de stroom IR2 door R2.
Gebruik de knooppuntmethode om het vermogen PIs te vinden dat de stroombron Is levert.
De spanningsbron Vₛ tussen A en B heeft haar +-klem bij B, dus ze legt VB − VA = Vₛ vast. Gebruik de knooppuntmethode met een superknooppunt om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik de maasmethode om de spanning VR2 over R2 met de aangegeven polariteit te vinden.
Gebruik de maasmethode om de stroom IR2 door R2 in de richting van de pijl te vinden.
Vind de waarde van de stroombron Is (richting zoals getekend) waarbij de stroom IR3 door R3 gelijk is aan nul.
Gebruik superpositie om de spanning VR2 over R2 met de aangegeven polariteit te vinden.
Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.
Vind de Norton-stroom IN: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.
De spoel voert een constante stroom van 2,5 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Vind de spanning vR over R op t = 5 ms.
De schakelaar over R2 is al lang gesloten, dus de spoelstroom is constant. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de spoelstroom i op t = 1 ms.
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 200 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).
Een weerstand R1 staat in serie met een parallelschakeling van R2 en een condensator C, aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 60 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.
Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 240 V: een belasting van 24 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,8 en een verwarmingselement van 12 kW (arbeidsfactor 1). Vind de totale arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.
Een eenfasige belasting neemt 4 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 150 µF aangesloten. Vind de nieuwe lijnstroom I.
Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 60 A op uit een net met een lijnspanning van 690 V. De arbeidsfactor is 0,88 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
Een symmetrische driefasige belasting neemt 60 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 480 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
Een versterker met een uitgangsweerstand van 32 Ω stuurt via een ideale transformator een luidspreker van 8 Ω aan. Voor maximale vermogensoverdracht moet de luidspreker er vanaf de versterker uitzien als 32 Ω. Vind de wikkelverhouding a = N₁/N₂.
Een eenfasetransformator van 100 kVA heeft een ijzerverlies van 300 W. Bij nominale belasting en een inductieve arbeidsfactor van 0,9 is het rendement 97,5%. Vind het koperverlies bij vollast Pcu,fl in watt.
De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. Vind de uitgangsspanning Vout.
De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. De weerstandsverhoudingen zijn niet op elkaar afgestemd. Vind de uitgangsspanning Vout.
Een NPN-transistor met β = 80 wordt ingesteld met een spanningsdeler vanaf VCC = 18 V: R₁ = 56 kΩ van VCC naar de basis en R₂ = 8,2 kΩ van de basis naar massa. De collectorweerstand is RC = 1,5 kΩ en de emitterweerstand is RE = 680 Ω. Neem VBE = 0,7 V en gebruik het Thévenin-equivalent van de deler (verwaarloos de basisstroom niet). Vind de collector-emitterspanning VCE.
Een NPN-transistor met β = 200 schakelt een belastingsweerstand van 680 Ω, aangesloten tussen VCC = 5 V en de collector. De emitter ligt aan massa. De basis wordt aangestuurd vanuit een logische uitgang van 3,3 V via een basisweerstand RB = 1 kΩ. Neem VBE = 0,7 V en VCE(sat) = 0,2 V. Vind de collectorstroom IC in mA als de ingang hoog is. Bepaal eerst of de transistor verzadigd is.
Stel de bits zo in dat ze −22 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?
Wat is het grootste gehele getal zonder teken N dat in 16 bits past?
Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale som-van-productenvorm (SOP) van F(A, B, C) = Σm(2, 4, 5, 7) te vinden. Hoeveel literals L bevat die in totaal (een variabele met accent telt als één literal)?
Een klok van 2 kHz stuurt een mod-10-teller aan. Bepaal de frequentie fout van zijn meest significante uitgang, die één cyclus per telcyclus voltooit.
F(s) = (5s + 24)/(s² + 8s + 12). De inverse transformatie heeft de vorm f(t) = A·e−2t + B·e−6t. Bepaal de coëfficiënt A met partieelbreuken.
Los y″ + 8y′ + 15y = 0 op met y(0) = −3 en y′(0) = 5 met de Laplacetransformatie, en bepaal y(0,2).
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = 4(s + 3)/((s + 4)(s + 6)). Op de referentie wordt een stap van grootte 5 aangelegd. Bepaal de stationaire fout ess.
Het proces G(s) = 52/(s(s + 5)) staat in een lus met negatieve terugkoppeling met sensorversterking H = 0,5. De gesloten-luspolen zijn complex. Bepaal hun reële deel σ.
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 77/(s² + 5s + 77) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Bepaal de procentuele overshoot %OS van de stapresponsie.
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/(s(s + 4)). Bepaal de versterking K die een stapresponsie met 2 % overshoot geeft.
Het getoonde RL-hoogdoorlaatfilter heeft R = 470 Ω, L = 2,2 mH. Er wordt een sinusvormige ingang van 68 kHz aangelegd. Bepaal de versterking |H| = |vout/vin| in dB.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = K/(s(s + 6)(s + 7)). Bepaal de versterking K die een versterkingsmarge van 15 dB geeft.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft L(s) = K(s + 5)/(s(s + 1)(s + 2)), met K > 0. Bepaal de grootste versterking Kmax waarvoor de gesloten lus stabiel is.
Bepaal voor L(s) = K/((s + 6)(s² + 2s + 5)) de vertrekhoek θd van de wortelbaan vanuit de complexe pool in het bovenste halfvlak, gemeten vanaf de positieve reële as.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/((s + 4)(s + 10)). Bepaal de versterking K die een stationaire fout van 25 % geeft voor een stapingang.
Een PD-regelaar C(s) = 8 + Kd·s stuurt het proces G(s) = 5/(s(s + 4)) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. Bepaal de differentiërende versterking Kd die de gesloten lus een dempingsverhouding ζ = 0,707 geeft.
Antwoord: Req = 8,455 Ω
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
Antwoord: IR2 = 1,65 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.
Antwoord: PIs = 57,69 W
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
De stromen die A via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in A sturen.
De stromen die B via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in B sturen.
De bron duwt Iₛ omhoog knooppunt B in, van massa (0 V) naar VB. Een bron waarvan de stroom bij de +-klem naar buiten komt, levert P = V·I.
Antwoord: IR1 = −0,2444 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
De spanningsbron tussen A en B voert een onbekende stroom, dus je kunt de stroomwet niet afzonderlijk in A of B opschrijven. Neem A, B en de bron samen in één superknooppunt: de stroom die erin gaat is gelijk aan de stroom die eruit komt.
Een negatieve uitkomst betekent dat de werkelijke stroom tegen de pijl in loopt.
Antwoord: VR2 = −18,83 V
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: IR2 = −0,0531 A
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2, I3. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: Is = 1,563 A
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
Iₛ wordt een open circuit, dus R₃ en R₄ vormen één serietak van A naar massa, parallel aan R₂.
V₁ wordt een kortsluiting, dus R₁ ∥ R₂ hangt tussen A en massa. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ en de weg R₃ + R₁∥R₂; het deel door R₃ stroomt van B naar A, tegen de pijl in.
Antwoord: VR2 = −34,05 V
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
V₂ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. Gezien vanuit A staat R₃ parallel aan het seriepaar R₂+R₄.
Beide spanningsbronnen worden kortsluitingen. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ (nu naar massa) en R₂ in serie met R₁ ∥ R₃.
V₁ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. R₁ ∥ R₃ hangt aan A, in serie met R₂ terug naar B.
Een negatief resultaat betekent dat in werkelijkheid de polariteit tegengesteld is aan de aangegeven.
Antwoord: Vth = 5,556 V
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.
Antwoord: IN = −5,609 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.
Antwoord: vR = 3,864 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Antwoord: i = 0,5023 A
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Vóór t = 0 overbrugt de gesloten schakelaar R₂; daarna zitten R₁ en R₂ allebei in de kring.
Antwoord: φ = 42,67 °
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Antwoord: |Z| = 50,3 Ω
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Zp te splitsen in een reëel en een imaginair deel.
Antwoord: cos φ = 0,8944
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).
Antwoord: I = 19,92 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Antwoord: P = 63,1 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Antwoord: Cph = 188,2 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.
Antwoord: a = 2
Ideale transformator: de spanningen verhouden zich als de windingaantallen en de stromen omgekeerd: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a en I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, dus het opgenomen vermogen is gelijk aan het afgegeven vermogen, V₁·I₁ = V₂·I₂. Een belastingsimpedantie Z aan de secundaire kant lijkt vanaf de primaire kant a²·Z.
Antwoord: Pcu,fl = 2008 W
Transformatorverliezen: het ijzerverlies (hysterese en wervelstromen) hangt af van de spanning en is bij elke belasting gelijk. Het koperverlies in de wikkelingen gaat met het kwadraat van de stroom, dus bij een fractie x van de nominale belasting is het x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), met Pout = x·S·pf. Het rendement is het hoogst bij de belasting waarbij het koperverlies gelijk is aan het ijzerverlies.
Antwoord: Vout = 0,6735 V
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
V₋ = V₊, en de stroom door R₁ loopt ook door Rf.
Antwoord: Vout = −0,4874 V
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
Met V₂ = 0 ziet V₁ een inverterende versterker. Met V₁ = 0 wordt V₊ versterkt met de niet-inverterende versterking 1 + R₂/R₁.
Antwoord: VCE = 13,5 V
Instelpunt van een BJT: in het actieve gebied is VBE = 0,7 V, IC = β·IB en IE = (β + 1)·IB. Bepaal IB uit de basislus met de spanningswet, dan IC, en dan VCE uit de collector-emitterlus. Een spanningsdeler aan de basis wordt vervangen door zijn Thévenin-equivalent VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂), RTH = R₁∥R₂; een emitterweerstand telt in de basislus (β + 1) keer zo zwaar.
Spanningswet langs de basislus; de emitterstroom is (β + 1)·IB.
Antwoord: IC = 7,059 mA
BJT als schakelaar: om een belasting volledig in te schakelen wordt de transistor in verzadiging gestuurd, waar VCE = VCE(sat) en de collectorstroom door de belasting wordt bepaald: IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC. Voor verzadiging is minstens IB = IC(sat)/β nodig. Is de basisstroom kleiner, dan blijft de transistor actief en is IC = β·IB.
β·IB is groter dan IC(sat), dus de transistor raakt verzadigd.
De transistor is verzadigd.
Antwoord: U = 234
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Antwoord: N = 65535
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Antwoord: L = 7
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.
Antwoord: fout = 0,2 kHz
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Antwoord: A = 3,5
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Vermenigvuldig met (s + 2) en vul s = −2 in: de B-term valt weg.
Antwoord: y(0.2) = −2,008
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Controle: y(0) = A + B = −3.
Antwoord: ess = 3,333
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: σ = −2,5
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: %OS = 39,31 %
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: K = 6,58
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwoord: |H| = −0,9692 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: K = 97,09
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: Kmax = 3
Routh–Hurwitz-criterium: een lineair systeem is stabiel als elke wortel van zijn karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak van het s-vlak ligt. Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel. Elk element van een nieuwe rij volgt uit de twee rijen erboven; voor een derdegraads a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ is het s¹-element b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak. Met een versterking K in de coëfficiënten moet elk element van de eerste kolom positief blijven: de versterking waarbij het s¹-element nul wordt, is de stabiliteitsgrens, en de s²-rij geeft dan de frequentie van de aanhoudende oscillatie.
Met de zero rechts van s = −3 zou de lus stabiel blijven voor elke K > 0.
Antwoord: θd = 68,2 °
Wortelbaan: als de versterking K van 0 naar ∞ gaat, bewegen de gesloten-luspolen, de wortels van 1 + K·G(s) = 0, van de open-luspolen naar de open-luszeros of naar oneindig. Een punt op de reële as hoort bij de wortelbaan als het aantal reële polen en zeros rechts ervan oneven is. De n − m takken die naar oneindig gaan, volgen asymptoten onder de hoeken (2q + 1)·180°/(n − m), die beginnen in het zwaartepunt σₐ = (Σ polen − Σ zeros)/(n − m). Takken verlaten of bereiken de reële as waar dK/ds = 0. De hoekvoorwaarde ∠G(s) = 180° bepaalt de vorm, en de modulusvoorwaarde K = 1/|G(s)| geeft de versterking in elk punt van de wortelbaan.
Antwoord: K = 120
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Controleer ook de stabiliteit van de gesloten lus: voor deze tweedegraads lus is elke K > 0 stabiel.
Antwoord: Kd = 0,9886 s
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
De differentiërende term voegt demping toe zonder ωₙ te veranderen.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical