Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 40 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.
Vind de stroom IR2 door R2.
Drie takken zijn aangesloten tussen knooppunt A en massa, zoals getekend. Gebruik de knooppuntmethode om de stroom I2 in tak 2 te vinden, die omhoog knooppunt A in stroomt in de richting van de pijl.
De stroombron wordt bijgesteld tot de knooppuntspanning in A gelijk is aan VA = 20,5 V. Gebruik de knooppuntmethode om de bronstroom Is te vinden (richting zoals getekend).
Gebruik de maasmethode om de spanning VR2 over R2 met de aangegeven polariteit te vinden.
Gebruik de maasmethode om de maasstroom I1 (met de klok mee) te vinden.
Vind de waarde van de stroombron Is (richting zoals getekend) waarbij de stroom IR3 door R3 gelijk is aan nul.
Een lineaire weerstandsschakeling bevat drie onafhankelijke bronnen: V1, V2 en Is. De stroom I door een belasting wordt drie keer gemeten. Met alle bronnen op hun normale waarde is I = 13 mA. Met V1 verdubbeld en de andere twee ongewijzigd is I = 16 mA. Met de richting van Is omgekeerd en de andere twee ongewijzigd is I = −6 mA. Vind de belastingsstroom I als V2 is uitgeschakeld en V1 en Is hun normale waarde hebben.
Vind de Thévenin-weerstand Rth gezien vanaf de klemmen a–b.
Een belasting RL = 3 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen PL in de belasting te vinden.
De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de tijdconstante τ van de schakeling nadat de schakelaar sluit.
Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 18 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 11,7 V bereikt? Vind t.
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 60 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 50 Hz. Vind de resonantiefrequentie f0 van de schakeling.
Een inductieve belasting neemt 6 A en 828 W op uit een eenfasige voeding van 230 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.
Een eenfasige belasting neemt 16 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 230 V, 60 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 470 µF aangesloten. Vind de nieuwe lijnstroom I.
Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 80 A op uit een net met een lijnspanning van 400 V. De arbeidsfactor is 0,92 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
Een symmetrische driefasige belasting neemt 80 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
Een versterker met een uitgangsweerstand van 500 Ω stuurt via een ideale transformator een luidspreker van 5 Ω aan. Voor maximale vermogensoverdracht moet de luidspreker er vanaf de versterker uitzien als 500 Ω. Vind de wikkelverhouding a = N₁/N₂.
Een eenfasetransformator van 75 kVA heeft een ijzerverlies van 375 W. Bij nominale belasting en een inductieve arbeidsfactor van 0,95 is het rendement 98,5%. Vind het koperverlies bij vollast Pcu,fl in watt.
Kies de terugkoppelweerstand Rf die deze niet-inverterende versterker een spanningsversterking van 10 geeft.
Twee ideale opamptrappen staan in cascade: een inverterende versterker (R1, Rf1) gevolgd door een niet-inverterende versterker (R2 naar massa, Rf2 in de terugkoppeling). Beide worden gevoed met ±15 V. Vind de totale spanningsversterking Av = Vout/Vin.
Een NPN-transistor met β = 150 wordt ingesteld met een spanningsdeler vanaf VCC = 12 V: R₁ = 22 kΩ van VCC naar de basis en R₂ = 15 kΩ van de basis naar massa. De collectorweerstand is RC = 1,5 kΩ en de emitterweerstand is RE = 1,5 kΩ. Neem VBE = 0,7 V en gebruik het Thévenin-equivalent van de deler (verwaarloos de basisstroom niet). Vind de collector-emitterspanning VCE.
Een diode wordt gemodelleerd als 0,6 V in serie met 50 Ω (hij geleidt boven 0,6 V). Hij staat in serie met een weerstand van 1000 Ω over een voeding van 6 V. Bepaal de werkpuntstroom ID waar de diodelijn de belastinglijn snijdt.
Het 8-bits patroon 1100 1000 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?
Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 0101 0111 XOR 0011 0011. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?
In deze Karnaugh-kaart heeft precies één 1 geen naburige 1, dus hij blijft een groep van één cel (een volledige minterm van vier literals) in de minimale SOP-vorm. Buren over de randen van de kaart tellen mee. Klik op die cel.
Een 4-bits Johnson-teller Q₃Q₂Q₁Q₀ begint bij 0000. Bij elke klokflank schuiven de bits één plaats naar rechts (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) en krijgt Q₃ de inverse van Q₀. Geef de toestand Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ als decimaal getal na 6 klokflanken.
Bepaal f(t) voor F(s) = 55/(s(s + 3)(s + 5)) met partieelbreuken, en bereken f(0,4).
Een systeem voldoet aan y″ + 7y′ + 6y = 12·u(t), met y(0) = 3 en y′(0) = 0. Op t = 0 wordt een stap u(t) = 4 aangelegd. Gebruik de Laplacetransformatie om y(0,5) te bepalen.
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = 1(s + 7)/((s + 5)(s + 9)). Op de referentie wordt een stap van grootte 2 aangelegd. Bepaal de stationaire fout ess.
Reduceer het blokschema met G₁ = 16/(s + 2), G₂ = 8/(s + 8), een binnenste negatieve terugkoppeling H₁ = 1 om G₂ en een buitenste negatieve terugkoppeling H₂ = 0,2. Bepaal de gelijkstroomversterking T(0) van C(s)/R(s).
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 59/(s² + 9s + 59) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Bepaal de 2%-insteltijd ts van de stapresponsie, met ts ≈ 4/(ζωₙ).
De stapresponsie van een tweede-ordesysteem zonder nullen toont 15 % overshoot, en de eerste piek treedt op bij t = 1,5 s. Bepaal de eigenfrequentie ωn.
In het getoonde serie-RLC-banddoorlaatfilter staat de uitgang over R = 20 Ω, met L = 100 mH en C = 0,47 µF. Bepaal de kwaliteitsfactor Q.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 10/(s(s + 1)(s + 9)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.
De lus in het schema heeft de open-lusoverdrachtsfunctie L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). De versterking wordt verhoogd tot de gesloten lus op de rand van stabiliteit zit. Bepaal de frequentie ω van de aanhoudende oscillatie.
De wortelbaan van L(s) = K(s + 12)/(s(s + 4)) verlaat de reële as tussen s = 0 en s = −4, maakt een cirkel en bereikt de reële as weer links van de zero. Bepaal het aankomstpunt si.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/((s + 5)(s + 10)). Bepaal de versterking K die een stationaire fout van 25 % geeft voor een stapingang.
Een PD-regelaar C(s) = 2 + Kd·s stuurt het proces G(s) = 10/(s(s + 1)) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. Bepaal de differentiërende versterking Kd die de gesloten lus een dempingsverhouding ζ = 0,5 geeft.
Antwoord: IR1 = 1,718 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
Antwoord: IR2 = 5,405 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.
Antwoord: I2 = 0,4828 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Neem de onderste draad als massa. Elke tak voert (VA − Vk)/Rk weg van A, waarbij Vk de spanning van de bron in die tak is (nul voor een gewone weerstand). De stromen die A verlaten zijn samen nul.
De pijl wijst omhoog door de tak, knooppunt A in.
Een negatieve uitkomst betekent dat de werkelijke stroom tegen de pijl in loopt.
Antwoord: Is = 3,216 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
VA is bekend, dus deze vergelijking geeft VB.
De stromen die B via de weerstanden verlaten zijn gelijk aan de stroom die bronnen B in duwen.
Antwoord: VR2 = −8 V
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: I1 = 1,548 A
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2, I3. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: Is = 1,714 A
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
Iₛ wordt een open circuit, dus R₃ en R₄ vormen één serietak van A naar massa, parallel aan R₂.
V₁ wordt een kortsluiting, dus R₁ ∥ R₂ hangt tussen A en massa. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ en de weg R₃ + R₁∥R₂; het deel door R₃ stroomt van B naar A, tegen de pijl in.
Antwoord: I = 12,5 mA
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
Elke bijdrage is evenredig met haar eigen bron.
Antwoord: Rth = 4,727 Ω
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Antwoord: PL = 2,456 W
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.
Antwoord: τ = 40,97 ms
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Sluit de bron kort om Rth te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.
Antwoord: t = 39,73 ms
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.
Antwoord: φ = −66,28 °
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Antwoord: f0 = 75,87 Hz
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC). De voedingsfrequentie doet er niet toe.
Antwoord: X = 30,67 Ω
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Antwoord: I = 86,85 A
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Antwoord: P = 50,99 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Antwoord: Cph = 251,3 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.
Antwoord: a = 10
Ideale transformator: de spanningen verhouden zich als de windingaantallen en de stromen omgekeerd: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a en I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, dus het opgenomen vermogen is gelijk aan het afgegeven vermogen, V₁·I₁ = V₂·I₂. Een belastingsimpedantie Z aan de secundaire kant lijkt vanaf de primaire kant a²·Z.
Antwoord: Pcu,fl = 710 W
Transformatorverliezen: het ijzerverlies (hysterese en wervelstromen) hangt af van de spanning en is bij elke belasting gelijk. Het koperverlies in de wikkelingen gaat met het kwadraat van de stroom, dus bij een fractie x van de nominale belasting is het x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), met Pout = x·S·pf. Het rendement is het hoogst bij de belasting waarbij het koperverlies gelijk is aan het ijzerverlies.
Antwoord: Rf = 900 kΩ
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
V₋ = V₊ = Vin, en de stroom door R₁ loopt ook door Rf, dus Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Antwoord: Av = −1,043
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
Antwoord: VCE = 4,012 V
Instelpunt van een BJT: in het actieve gebied is VBE = 0,7 V, IC = β·IB en IE = (β + 1)·IB. Bepaal IB uit de basislus met de spanningswet, dan IC, en dan VCE uit de collector-emitterlus. Een spanningsdeler aan de basis wordt vervangen door zijn Thévenin-equivalent VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂), RTH = R₁∥R₂; een emitterweerstand telt in de basislus (β + 1) keer zo zwaar.
Spanningswet langs de basislus; de emitterstroom is (β + 1)·IB.
Antwoord: ID = 5,143 mA
Led- en diodeschakelingen: een in doorlaatrichting geschakelde led laat ongeveer zijn doorlaatspanning VF vallen (ongeveer 2 V voor rood, 3 V voor blauw of wit), ongeacht de stroom. Een serieweerstand stelt de stroom in: R = (Vs − n·VF)/I voor n leds in serie. Met een nauwkeuriger diodemodel V = V₀ + I·rd ligt het werkpunt waar de diodelijn de belastinglijn I = (Vs − V)/R snijdt, dus I = (Vs − V₀)/(R + rd).
Antwoord: N = −56
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
De andere bits houden hun gewone positieve waarde.
Antwoord: R = 100
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
XOR geeft 1 waar de twee bits verschillen.
Antwoord: AB = 01, CD = 10
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Een 1 met een naburige 1 kan deel uitmaken van een groep van twee of meer.
Antwoord: Q = 3
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Antwoord: f(0.4) = 1,65
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: y(0.5) = 4,411
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Controle: y(0) = A + B + C = 3.
Antwoord: ess = 1,731
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: T(0) = 2,222
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: ts = 0,8889 s
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: ωn = 2,447 rad/s
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwoord: Q = 23,06
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: GM = 19,08 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: ω = 2,828 rad/s
Routh–Hurwitz-criterium: een lineair systeem is stabiel als elke wortel van zijn karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak van het s-vlak ligt. Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel. Elk element van een nieuwe rij volgt uit de twee rijen erboven; voor een derdegraads a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ is het s¹-element b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak. Met een versterking K in de coëfficiënten moet elk element van de eerste kolom positief blijven: de versterking waarbij het s¹-element nul wordt, is de stabiliteitsgrens, en de s²-rij geeft dan de frequentie van de aanhoudende oscillatie.
Bij de kritieke versterking is de s¹-rij nul; de s²-rij geeft de polen op de imaginaire as.
Antwoord: si = −21,8
Wortelbaan: als de versterking K van 0 naar ∞ gaat, bewegen de gesloten-luspolen, de wortels van 1 + K·G(s) = 0, van de open-luspolen naar de open-luszeros of naar oneindig. Een punt op de reële as hoort bij de wortelbaan als het aantal reële polen en zeros rechts ervan oneven is. De n − m takken die naar oneindig gaan, volgen asymptoten onder de hoeken (2q + 1)·180°/(n − m), die beginnen in het zwaartepunt σₐ = (Σ polen − Σ zeros)/(n − m). Takken verlaten of bereiken de reële as waar dK/ds = 0. De hoekvoorwaarde ∠G(s) = 180° bepaalt de vorm, en de modulusvoorwaarde K = 1/|G(s)| geeft de versterking in elk punt van de wortelbaan.
Differentieer met de quotiëntregel en stel de teller gelijk aan nul.
Tussen de twee splitsingspunten is de wortelbaan een cirkel met middelpunt in de zero en straal √96 = 9,798.
Antwoord: K = 150
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Controleer ook de stabiliteit van de gesloten lus: voor deze tweedegraads lus is elke K > 0 stabiel.
Antwoord: Kd = 0,3472 s
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
De differentiërende term voegt demping toe zonder ωₙ te veranderen.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical