Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 40 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Vind de stroom IR2 door R2.
Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.
Gebruik de knooppuntmethode om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik de knooppuntmethode om de stroom IR2 door R2 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik de maasmethode om de stroom IR1 door R1 in de richting van de pijl te vinden.
Gebruik de maasmethode om de spanning VR5 over R5 met de aangegeven polariteit te vinden.
Vind de waarde van de stroombron Is (richting zoals getekend) waarbij de stroom IR3 door R3 gelijk is aan nul.
Vind de waarde van de spanningsbron V2 (polariteit zoals getekend) waarbij de stroom IR3 door R3 gelijk is aan nul.
Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.
Een belasting RL = 3 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom IL.
De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 2 ms.
Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 9 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 4,5 V bereikt, precies 200 ms na de start. Vind met C = 100 µF de benodigde weerstand R.
Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 50 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 1000 Hz. Vind de effectieve spanning VC over de condensator.
Een eenfasige motor neemt 5 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 240 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.
Een eenfasige belasting neemt 45 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 400 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,92. Vind de benodigde capaciteit C.
Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 18 + j24 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 415 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
Een symmetrische driefasige belasting neemt 80 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
Een versterker met een uitgangsweerstand van 5000 Ω stuurt via een ideale transformator een luidspreker van 50 Ω aan. Voor maximale vermogensoverdracht moet de luidspreker er vanaf de versterker uitzien als 5000 Ω. Vind de wikkelverhouding a = N₁/N₂.
Een eenfasetransformator van 500 kVA heeft een ijzerverlies van 2500 W. Bij nominale belasting en een inductieve arbeidsfactor van 0,9 is het rendement 98,8%. Vind het koperverlies bij vollast Pcu,fl in watt.
Kies de terugkoppelweerstand Rf die deze niet-inverterende versterker een spanningsversterking van 8 geeft.
De sommeerversterker gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V. Vind de uitgangsspanning Vout.
Een NPN-transistor met β = 120 wordt ingesteld met een spanningsdeler vanaf VCC = 20 V: R₁ = 82 kΩ van VCC naar de basis en R₂ = 12 kΩ van de basis naar massa. De collectorweerstand is RC = 2,2 kΩ en de emitterweerstand is RE = 680 Ω. Neem VBE = 0,7 V en gebruik het Thévenin-equivalent van de deler (verwaarloos de basisstroom niet). Vind de collector-emitterspanning VCE.
Een zenerstabilisator van 6,2 V heeft een serieweerstand van 150 Ω. De ingangsspanning kan stijgen tot 18 V, en de belasting kan losgekoppeld worden. Bepaal het grootste vermogen PZ,max dat de zenerdiode moet dissiperen.
Stel de bits zo in dat ze −85 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?
Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1001 1000 OR 1100 0000. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?
Een 4-naar-1-multiplexer heeft selectie-ingangen S₁ = A en S₀ = B, en data-ingangen gekoppeld aan I₀ = 0, I₁ = C, I₂ = C′, I₃ = C. Voor hoeveel van de 8 combinaties van A, B en C is de uitgang F = 1? Bepaal N.
Een 4-bits binaire oploopteller begint bij 11 (decimaal, Q = 1011). Welke stand Q (decimaal) toont hij na 27 klokpulsen?
Bepaal f(t) voor F(s) = 30/(s(s + 2)(s + 5)) met partieelbreuken, en bereken f(0,5).
Een systeem voldoet aan y″ + 9y′ + 20y = 40·u(t), met y(0) = 6 en y′(0) = 0. Op t = 0 wordt een stap u(t) = 1 aangelegd. Gebruik de Laplacetransformatie om y(0,2) te bepalen.
Een proces G(s) = 18/(s + 4) wordt geregeld in een lus met negatieve terugkoppeling waarvan de sensor de versterking H = 2 heeft. Bepaal de tijdconstante τ van de gesloten lus.
Een proportionele regelaar K = 4 stuurt het proces G(s) = 5/(s + 4) aan in een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling. Een verstoring D komt binnen aan de ingang van het proces (ze wordt opgeteld bij de uitgang van de regelaar). Bij R = 0 wordt een verstoringsstap van grootte 0,5 aangelegd. Bepaal de stationaire uitgang css.
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 255/(s² + 9s + 85) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Bepaal de procentuele overshoot %OS van de stapresponsie.
Een massa m = 10 kg hangt aan een veer k = 400 N/m met een viskeuze demper c = 63 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). In rust in evenwicht wordt plotseling een constante kracht F = 20 N aangelegd. Vind de dempingsverhouding ζ.
Bepaal de exacte grootte |G(jω)| van G(s) = 100/((s + 2)(s + 5)) bij ω = 2 rad/s, in dB.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 40/(s(s + 1)(s + 8)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.
De lus in het schema heeft negatieve terugkoppeling en L(s) = 288/(s(s + 1)(s + 8)). Hoeveel gesloten-luspolen N liggen in het rechterhalfvlak?
Bepaal voor de lus L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4)) de versterking K die een gesloten-luspool op s = −0,5 plaatst.
Een helling r(t) = 1t wordt aangelegd op een lus met eenheidsterugkoppeling met G(s) = 50/(s(s + 1)(s + 5)). Bepaal de stationaire fout ess.
Een PD-regelaar C(s) = 25 + Kd·s stuurt het proces G(s) = 5/(s(s + 1)) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. Bepaal de differentiërende versterking Kd die de gesloten lus een dempingsverhouding ζ = 0,8 geeft.
Antwoord: IR2 = 0,8372 A
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.
Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.
Antwoord: Req = 14,24 Ω
Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.
Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.
Antwoord: IR1 = 2,489 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Massa is de onderste draad. Bekende knooppuntspanningen volgen direct uit de bronnen (V1 = 30 V). Onbekenden: VA, VB.
De stromen die A via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in A sturen.
De stromen die B via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in B sturen.
Antwoord: IR2 = −0,4303 A
Knooppuntmethode: kies een referentieknooppunt, benoem de onbekende knooppuntspanningen, schrijf de stroomwet van Kirchhoff in elk onbekend knooppunt met de wet van Ohm (I = ΔV/R), en los de vergelijkingen op.
Massa is de onderste draad. Bekende knooppuntspanningen volgen direct uit de bronnen (V1 = 24 V, V2 = 10 V). Onbekenden: VA, VB.
De stromen die A via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in A sturen.
De stromen die B via de weerstanden verlaten, zijn gelijk aan de stroom die de bronnen in B sturen.
Antwoord: IR1 = 0,5641 A
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: VR5 = 11,05 V
Maasmethode: geef elk venster van een vlakke schakeling een eigen lusstroom, schrijf de spanningswet van Kirchhoff langs elke lus (som van de vallen = som van de stijgingen) en los op. Takstromen zijn de maasstroom, of het verschil van twee maasstromen in een gedeelde tak.
Teken in elk venster een stroom met de klok mee: I1, I2, I3. Een weerstand die door twee mazen gedeeld wordt, voert het verschil van hun stromen.
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Met de klok mee zijn de spanningsvallen over weerstanden gelijk aan de spanningsstijgingen van bronnen (van − naar + in de looprichting).
Een negatieve maasstroom loopt tegen de klok in.
Antwoord: Is = 0,24 A
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
Iₛ wordt een open circuit, dus R₃ en R₄ vormen één serietak van A naar massa, parallel aan R₂.
V₁ wordt een kortsluiting, dus R₁ ∥ R₂ hangt tussen A en massa. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ en de weg R₃ + R₁∥R₂; het deel door R₃ stroomt van B naar A, tegen de pijl in.
Antwoord: V2 = 4 V
Superpositie: in een lineaire schakeling is elke spanning of stroom de som van de responsies op elke onafhankelijke bron die alleen werkt. Om een bron uit te zetten, vervang je een ideale spanningsbron door een kortsluiting en een ideale stroombron door een open circuit. Weerstanden blijven waar ze zijn.
V₂ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. Gezien vanuit A staat R₃ parallel aan het seriepaar R₂+R₄.
Beide spanningsbronnen worden kortsluitingen. Iₛ splitst zich in B tussen R₄ (nu naar massa) en R₂ in serie met R₁ ∥ R₃. De pijl van Iₛ wijst omlaag, van zijn knooppunt af, dus Iₛ trekt stroom uit dat knooppunt: de term komt erin met een minteken.
V₁ wordt een kortsluiting en Iₛ een open circuit. R₁ ∥ R₃ hangt aan A, in serie met R₂ terug naar B.
Met VA = 0 staat er geen spanning over R₃, dus de stroom erdoor is nul.
Antwoord: Vth = 15 V
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.
Antwoord: IL = 1,793 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.
Antwoord: i = 0,3512 A
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.
Antwoord: R = 2,885 kΩ
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
kΩ maal µF geeft milliseconden.
Antwoord: |Z| = 5,32 Ω
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.
De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.
Antwoord: VC = 0,6624 V
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.
Antwoord: Q = 3,75 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Antwoord: C = 554,4 µF
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.
Antwoord: P = 10,33 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
Antwoord: Cph = 604,5 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.
Antwoord: a = 10
Ideale transformator: de spanningen verhouden zich als de windingaantallen en de stromen omgekeerd: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a en I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, dus het opgenomen vermogen is gelijk aan het afgegeven vermogen, V₁·I₁ = V₂·I₂. Een belastingsimpedantie Z aan de secundaire kant lijkt vanaf de primaire kant a²·Z.
Antwoord: Pcu,fl = 2966 W
Transformatorverliezen: het ijzerverlies (hysterese en wervelstromen) hangt af van de spanning en is bij elke belasting gelijk. Het koperverlies in de wikkelingen gaat met het kwadraat van de stroom, dus bij een fractie x van de nominale belasting is het x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), met Pout = x·S·pf. Het rendement is het hoogst bij de belasting waarbij het koperverlies gelijk is aan het ijzerverlies.
Antwoord: Rf = 7 kΩ
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
V₋ = V₊ = Vin, en de stroom door R₁ loopt ook door Rf, dus Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Antwoord: Vout = 12,76 V
Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.
V₋ = 0, dus over elke ingangsweerstand staat zijn volledige ingangsspanning.
Antwoord: VCE = 13,08 V
Instelpunt van een BJT: in het actieve gebied is VBE = 0,7 V, IC = β·IB en IE = (β + 1)·IB. Bepaal IB uit de basislus met de spanningswet, dan IC, en dan VCE uit de collector-emitterlus. Een spanningsdeler aan de basis wordt vervangen door zijn Thévenin-equivalent VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂), RTH = R₁∥R₂; een emitterweerstand telt in de basislus (β + 1) keer zo zwaar.
Spanningswet langs de basislus; de emitterstroom is (β + 1)·IB.
Antwoord: PZ,max = 487,7 mW
Zenerstabilisator: een in sperrichting geschakelde zenerdiode houdt zijn spanning VZ vast zolang zijn stroom boven een minimum IZ,min blijft. De serieweerstand R neemt het verschil tussen ingang en uitgang op: IR = (Vin − VZ)/R. Die stroom splitst zich in de belasting, IL = VZ/RL, en de zenerdiode: IZ = IR − IL. Ontwerp voor de slechtste gevallen: de laagste ingangsspanning met de grootste belasting moet nog steeds IZ,min overlaten, en de hoogste ingangsspanning zonder belasting geeft het grootste zenervermogen PZ = VZ·IZ.
Antwoord: U = 171
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Antwoord: R = 216
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
OR geeft 1 waar minstens één bit 1 is.
Antwoord: N = 3
Multiplexer: een 2ⁿ-naar-1-multiplexer geeft één van zijn data-ingangen door aan de uitgang; de selectielijnen, gelezen als binair getal, kiezen welke. Voor een 4-naar-1-MUX met selecties S₁S₀ = AB is F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Door de data-ingangen aan 0, 1, C of C′ te koppelen, maakt de MUX elke functie van A, B en C, wat een veelgebruikte manier is om logica met één chip te bouwen.
Antwoord: Q = 6
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Elke 16 pulsen brengen de teller terug in dezelfde toestand.
Antwoord: f(0.5) = 1,325
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: y(0.2) = 5,101
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Controle: y(0) = A + B + C = 6.
Antwoord: τ = 0,025 s
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: css = 0,1042
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Een grotere K verkleint het effect van de verstoring, maar met een proportionele regelaar nooit tot nul.
Antwoord: %OS = 17,26 %
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: ζ = 0,4981
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwoord: |G(jω)| = 16,35 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: GM = 5,105 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Antwoord: N = 2
Routh–Hurwitz-criterium: een lineair systeem is stabiel als elke wortel van zijn karakteristieke polynoom in het linkerhalfvlak van het s-vlak ligt. Schrijf de coëfficiënten afwisselend in de eerste twee rijen van de Routh-tabel. Elk element van een nieuwe rij volgt uit de twee rijen erboven; voor een derdegraads a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ is het s¹-element b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Het aantal tekenwisselingen in de eerste kolom is gelijk aan het aantal wortels in het rechterhalfvlak. Met een versterking K in de coëfficiënten moet elk element van de eerste kolom positief blijven: de versterking waarbij het s¹-element nul wordt, is de stabiliteitsgrens, en de s²-rij geeft dan de frequentie van de aanhoudende oscillatie.
De versterking ligt boven de grens K = 72, dus een complex paar is het rechterhalfvlak in gegaan.
Antwoord: K = 4,375
Wortelbaan: als de versterking K van 0 naar ∞ gaat, bewegen de gesloten-luspolen, de wortels van 1 + K·G(s) = 0, van de open-luspolen naar de open-luszeros of naar oneindig. Een punt op de reële as hoort bij de wortelbaan als het aantal reële polen en zeros rechts ervan oneven is. De n − m takken die naar oneindig gaan, volgen asymptoten onder de hoeken (2q + 1)·180°/(n − m), die beginnen in het zwaartepunt σₐ = (Σ polen − Σ zeros)/(n − m). Takken verlaten of bereiken de reële as waar dK/ds = 0. De hoekvoorwaarde ∠G(s) = 180° bepaalt de vorm, en de modulusvoorwaarde K = 1/|G(s)| geeft de versterking in elk punt van de wortelbaan.
Controle: s(s + 3)(s + 4) + K is nul bij s = −0,5.
Antwoord: ess = 0,1
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Antwoord: Kd = 3,378 s
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
De differentiërende term voegt demping toe zonder ωₙ te veranderen.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical