Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 42 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (3 m van A) en rust op een rol in D (8 m van A). Hij draagt een puntlast P op 4 m van A en een puntlast Q op 2 m van A. Vind de grootte van het inklemmingsmoment MA bij de muur.
Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 30 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.
De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.
Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
Een massieve as moet 10 kW overbrengen bij 3000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 40 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.
De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M0 = 30 kN·m op x = 1 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment Mx net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 3 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
In een punt is σₓ = −30 MPa en σᵧ = 50 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τxy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 95 MPa bereikt?
Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1000 mm en wanddikte 5 mm bevat gas met een overdruk van 0,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 35° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σn die dwars op de lasnaad werkt.
Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.
Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 1,5 m vanaf oplegging B. Vind de maximale doorbuiging δmax van de balk.
Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 130 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
Een bal wordt onder 45° boven de horizontaal vanaf vlak terrein weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de horizontale afstand x die de bal aflegt voordat hij de grond raakt.
Een bal wordt gelanceerd met 10 m/s onder 55° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 30 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Onder welke hoek α onder de horizontaal raakt hij de grond?
Een blok van 4 kg glijdt 6 m een helling af onder 45° met de horizontaal, met een kinetische wrijvingscoëfficiënt van 0,3. Vind de arbeid Wf tegen de wrijving.
Een blok van 1 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 2 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 4,5 m over (μ = 0,25) en loopt daarna tegen een veer (k = 4000 N/m) op een glad oppervlak. Vind de maximale indrukking x van de veer.
Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 50 mm 3 perioden later een piek van 11 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 100 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 30 kN/m en de onderste k₂ = 30 kN/m. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.
Een warmtemotor krijgt warmte van een bron op 550 °C en staat warmte af aan de omgeving op 35 °C. Het werkelijke thermisch rendement is 38%. Vind het exergetisch rendement ηII, de verhouding van het werkelijke rendement tot het Carnotrendement.
Een koelkast houdt de koude ruimte op 5 °C in een keuken van 28 °C, en onttrekt warmte aan de koude ruimte met 1 kW. Vind de hoogst mogelijke prestatiecoëfficiënt COPmax.
Een ideaal Diesel-kringproces heeft een compressieverhouding r = 14 en een afsnijverhouding rc = v₃/v₂ = 1,5. Aan het begin van de compressie heeft de lucht 305 K. Gebruik de koude-luchtstandaardaannamen: lucht is een ideaal gas met constante soortelijke warmtes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) en cv = 0,718 kJ/(kg·K). Vind de temperatuur T3 aan het eind van de warmtetoevoer, in K.
Een gasturbine-installatie werkt volgens een Brayton-kringproces met een drukverhouding van de compressor van 6. Lucht komt de compressor in met 288 K en de turbine met 1200 K. Beide machines zijn isentroop. Gebruik de koude-luchtstandaardaannamen: lucht is een ideaal gas met constante soortelijke warmtes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) en cv = 0,718 kJ/(kg·K). Vind de netto arbeid wnet per kilogram lucht, in kJ/kg.
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 150 mm naar 50 mm. In het brede deel is de druk 400 kPa en de snelheid 1,25 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
Een gesloten watertank heeft boven het water perslucht met een overdruk van 100 kPa. Water stroomt via een opening met een diameter van 30 mm, 2 m onder het wateroppervlak, de buitenlucht in. Vind, zonder verliezen, het debiet Q. Gebruik g = 9,81 m/s².
Water stroomt met 60 L/s door een leiding van 200 m lang met een binnendiameter van 300 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,028 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 3 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 0,2) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 80 L/s?
Bij een test levert een pomp 60 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 66 m, terwijl de as 59,8 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Een pomp verplaatst 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 11 m hoger ligt. De leiding is 100 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Een wand bestaat uit 150 mm baksteen en 25 mm geëxpandeerd polystyreen, met een oppervlak van 20 m². De buitenzijden zijn 23 °C en 1 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
Een wand van 150 mm minerale wol en 25 mm hout scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -5 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
Een motor van 15 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 24 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het koppel T1 op de motoras.
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (30 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (50 tanden) aan. Tandwiel C (16 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
Bepaal f(t) voor F(s) = (2s + 21)/(s² + 2s + 1) en bereken f(0,8).
Een systeem voldoet aan y″ + 6y′ + 5y = 15·u(t), met y(0) = 2 en y′(0) = 0. Op t = 0 wordt een stap u(t) = 4 aangelegd. Gebruik de Laplacetransformatie om y(1) te bepalen.
Een proces G(s) = 35/(s + 2) wordt geregeld in een lus met negatieve terugkoppeling waarvan de sensor de versterking H = 0,1 heeft. Op R wordt een stap van grootte 24 aangelegd. Bepaal de stationaire uitgang css.
Het proces G(s) = 74/(s(s + 9)) staat in een lus met negatieve terugkoppeling met sensorversterking H = 2. De gesloten-luspolen zijn complex. Bepaal hun reële deel σ.
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 32/(s² + 4s + 16) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = 235/(s(s + 8)). Bepaal de 2%-insteltijd ts van de stapresponsie van de gesloten lus, met ts ≈ 4/(ζωₙ).
Een lus met eenheidsterugkoppeling met G(s) = K/(s(s + 10)) moet de helling r(t) = 10t volgen met een stationaire fout van 0,1. Bepaal de versterking K.
Een PI-regelaar C(s) = Kp + Ki/s stuurt het proces G(s) = 2/(s + 1) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. De gesloten lus moet ωₙ = 10 rad/s en ζ = 1 hebben. Bepaal de proportionele versterking Kp.
Antwoord: RB = 39,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: MA = 246 kN·m
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.
Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.
De scharnierkracht VC werkt omlaag op AC (even groot en tegengesteld aan haar werking op CD).
Antwoord: P = 26,09 kN
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Antwoord: δ = 0,6787 mm
Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.
Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.
Antwoord: φ = 1,71 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Antwoord: d = 15,94 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.
Antwoord: Mx = 26,25 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.
Momenten om A, linksom positief: RB·L − M0 = 0. Verticaal evenwicht: RA + RB = 0.
Het linkerdeel bevat nu RA en het koppel.
Antwoord: Mx = 26,25 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Evenwicht van de hele balk.
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
Antwoord: τxy = 75 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Antwoord: σn = 41,78 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Dunwandige cilinder: tangentiële spanning σh = pr/t en axiale spanning σa = pr/(2t); dit zijn de hoofdspanningen in de wand.
Neem x langs de as (σa) en y in omtreksrichting (σh). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.
Antwoord: δ = 44,87 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwoord: δmax = 77,57 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
De hoekverdraaiing in het langere deel gelijk aan nul stellen geeft de plaats.
Antwoord: Pcr = 158,8 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: d = 64,45 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Controle: de slankheid KL/r is 93,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.
Antwoord: x = 49,34 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Start en landing op dezelfde hoogte: t = 2vy/g.
Antwoord: α = 77,37 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energie, of v² = v₀² + 2as in de verticale richting.
Antwoord: Wf = 49,94 J
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Antwoord: x = 6,551 cm
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: ζ = 0,08007
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: keq = 15 kN/m
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Antwoord: ηII = 60,74 %
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Antwoord: COPmax = 12,09
Grenzen van de tweede hoofdwet: geen kringproces tussen reservoirs op absolute temperaturen TH en TL kan beter zijn dan het omkeerbare (Carnot)proces: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) en COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie blijft altijd behouden: QH = W + QL.
Antwoord: T3 = 1315 K
Diesel-kringproces (motor met compressieontsteking): 1→2 isentrope compressie, 2→3 warmtetoevoer bij constante druk, 3→4 isentrope expansie, 4→1 warmteafvoer bij constant volume. Met compressieverhouding r = v₁/v₂ en afsnijverhouding rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) en η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Antwoord: wnet = 289,7 kJ/kg
Brayton-kringproces (gasturbine): 1→2 isentrope compressie, 2→3 warmtetoevoer bij constante druk, 3→4 isentrope expansie in de turbine, 4→1 warmteafvoer bij constante druk. Met drukverhouding rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k en η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Netto arbeid w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Met isentrope rendementen heeft de compressor ws/ηc nodig en levert de turbine ηt·ws.
Verhouding compressor- tot turbinearbeid (back-work ratio): wc/wt = 40,04%.
Antwoord: p2 = 337,5 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
Antwoord: Q = 10,93 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Antwoord: hf = 0,6855 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Antwoord: Δz = 3,834 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Antwoord: η = 64,96 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: H = 12,69 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Beide oppervlakken zijn open en praktisch in rust, dus de druk- en snelheidstermen vallen weg.
Antwoord: Ti = 18,03 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Antwoord: Ts = 19,2 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Antwoord: T1 = 99,47 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: nout = 128 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
totale overbrengingsverhouding = 7,5 : 1
Antwoord: f(0.8) = 7,728
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: y(1) = 7,418
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Controle: y(0) = A + B + C = 2.
Antwoord: css = 152,7
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: σ = −4,5
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: ζ = 0,5
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: ts = 1 s
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Voor deze lus is ζωₙ = a/2 welke K ook is: een hogere K geeft meer overshoot maar verkort de insteltijd niet.
Antwoord: K = 1000
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Een grote versterking maakt deze lus zeer licht gedempt: ζ = 0,1581. Dat conflict is de reden dat compensatoren worden gebruikt.
Antwoord: Kp = 9,5
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
1 + C(s)G(s) = 0, vermenigvuldigd met s(s + 1).
De integrerende term maakt de lus type 1, dus een stap wordt zonder stationaire fout gevolgd.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical