Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 42 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 3 m van A, onder een hoek van 45° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 9 m van A. Vind de grootte van de totale reactiekracht RA in het scharnier A.
Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.
De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σmax in de staaf.
Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 1500 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
In een punt is σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Vind de hoek θs, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.
Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 3,5 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δP onder de last.
Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte hreq van de doorsnede.
Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd onder 30° boven de horizontaal en landt 110 m verderop. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de beginsnelheid v0.
Een bal wordt onder 45° boven de horizontaal vanaf de top van een 35 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de vliegtijd t tot de bal de grond raakt.
Een auto van 1000 kg rijdt met een constante 72 km/h een helling van 3° op. Luchtweerstand en rolweerstand samen bedragen 550 N. Vind het vermogen P dat de wielen moeten leveren, in kW.
Een blok van 5 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 1 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 2 m over (μ = 0,25) en loopt daarna tegen een veer (k = 2500 N/m) op een glad oppervlak. Vind de maximale indrukking x van de veer.
Een massa van 20 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 50 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 160 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 100 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 15 kN/m en de onderste k₂ = 60 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Een warmtemotor krijgt warmte van een bron op 300 °C en staat warmte af aan de omgeving op 30 °C. Het werkelijke thermisch rendement is 24%. Vind het exergetisch rendement ηII, de verhouding van het werkelijke rendement tot het Carnotrendement.
Twee Carnotmotoren werken in serie. Motor A krijgt warmte van een reservoir op 500 °C en staat warmte af aan een tussenreservoir op temperatuur Tm. Motor B neemt al die warmte op en staat warmte af aan een reservoir op 20 °C. Beide motoren leveren dezelfde arbeid. Vind Tm in °C.
Een ideaal Diesel-kringproces heeft een compressieverhouding r = 19 en een afsnijverhouding rc = v₃/v₂ = 2,2. Gebruik de koude-luchtstandaardaannamen: lucht is een ideaal gas met constante soortelijke warmtes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) en cv = 0,718 kJ/(kg·K). Vind het thermisch rendement η in procent.
Een gasturbine-installatie werkt volgens een Brayton-kringproces met een drukverhouding van de compressor van 12. Lucht komt de compressor in met 290 K en de turbine met 1400 K. Beide machines zijn isentroop. Gebruik de koude-luchtstandaardaannamen: lucht is een ideaal gas met constante soortelijke warmtes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) en cv = 0,718 kJ/(kg·K). Vind de netto arbeid wnet per kilogram lucht, in kJ/kg.
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 75 mm naar 50 mm. In het brede deel is de druk 370 kPa en de snelheid 2,5 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 75 mm naar 50 mm en daarbij 4 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 270 kPa en de snelheid 0,5 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
Water stroomt met 8 L/s door een leiding van 400 m lang met een binnendiameter van 75 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,028 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 100 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 21 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 10) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Een pomp levert 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 22 m. Het pomprendement is 65% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 94%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Een pomp verplaatst 30 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 11 m hoger ligt. De leiding is 300 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 6 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 300 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Een wand bestaat uit 200 mm geëxpandeerd polystyreen en 100 mm beton, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 15 °C en 1 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
Een wand van 100 mm glas en 75 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -9 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
Twee evenwijdige assen liggen 240 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 4 mm en een vertraging van 5 : 1. Hoeveel tanden N2 moet het tandwiel hebben?
In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (25 tanden) op de ingaande as met 960 rpm en drijft tandwiel B (32 tanden) aan. Tandwiel C (36 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 540 rpm draaien. Hoeveel tanden ND moet tandwiel D hebben?
Bepaal f(t) voor F(s) = (2s + 12)/(s² + 8s + 52) door het kwadraat af te splitsen, en bereken f(0,1).
Een systeem voldoet aan y″ + 5y′ + 4y = 8·u(t). Het begint in rust (y(0) = 0, y′(0) = 0) en de ingang is een stap u(t) = 10 voor t ≥ 0. Gebruik de Laplacetransformatie om de uitgang y(0,4) te bepalen.
Het proces G(s) = 3/(s + 2) heeft een binnenste negatieve terugkoppellus met versterking H₁ = 5. Een regelaarversterking K = 4 en een buitenste lus met negatieve eenheidsterugkoppeling sluiten het systeem. Bepaal de gelijkstroomversterking T(0) van de gesloten lus.
Een proportionele regelaar K stuurt het proces G(s) = 10/(s + 8) aan in een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling. Een verstoringsstap van grootte 1 komt binnen aan de ingang van het proces terwijl R = 0. Bepaal de kleinste versterking K waarbij de stationaire uitgang niet groter is dan 0,0125.
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 42/(s² + 6s + 21) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Bepaal de piektijd tp van de stapresponsie.
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/(s(s + 20)). Bepaal de versterking K die een stapresponsie met 25 % overshoot geeft.
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = K/((s + 2)(s + 4)). Bepaal de versterking K die een stationaire fout van 2 % geeft voor een stapingang.
Een proportionele regelaar K stuurt het proces G(s) = 10/(s(s + 4)) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. Bepaal de versterking K waarmee de gesloten lus een dempingsverhouding ζ = 0,5 krijgt.
Antwoord: RA = 28,13 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: RA = 14,53 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Antwoord: δ = 0,8488 mm
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.
Antwoord: σmax = 265,3 MPa
Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.
Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.
Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.
Antwoord: φ = 2,162 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Antwoord: do = 36,76 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Een massieve as zou d = 35,1 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.
Antwoord: C (x = 4 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
Antwoord: Mx = 28,13 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Evenwicht van de hele balk.
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
Antwoord: θs = −7,018 °
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.
Positieve hoeken zijn tegen de klok in.
Antwoord: σθ = 101,6 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Antwoord: δP = 6,51 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwoord: hreq = 180,1 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.
Antwoord: Pcr = 1049 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Antwoord: σcr = 1,919 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: v0 = 35,3 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwoord: t = 4,584 s
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: P = 21,27 kW
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Vermogen is kracht maal snelheid: P = F·v.
Antwoord: x = 14,01 cm
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: ζ = 0,08
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
Antwoord: fn = 1,743 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Antwoord: ηII = 50,95 %
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Antwoord: Tm = 260 °C
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
W = Q·(1 − Tlow/Thigh) en Q/T is bij elk reservoir hetzelfde, dus W is evenredig met de temperatuurdaling.
Antwoord: η = 63,05 %
Diesel-kringproces (motor met compressieontsteking): 1→2 isentrope compressie, 2→3 warmtetoevoer bij constante druk, 3→4 isentrope expansie, 4→1 warmteafvoer bij constant volume. Met compressieverhouding r = v₁/v₂ en afsnijverhouding rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) en η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Antwoord: wnet = 413,9 kJ/kg
Brayton-kringproces (gasturbine): 1→2 isentrope compressie, 2→3 warmtetoevoer bij constante druk, 3→4 isentrope expansie in de turbine, 4→1 warmteafvoer bij constante druk. Met drukverhouding rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k en η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Netto arbeid w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Met isentrope rendementen heeft de compressor ws/ηc nodig en levert de turbine ηt·ws.
Verhouding compressor- tot turbinearbeid (back-work ratio): wc/wt = 42,13%.
Antwoord: p2 = 357,3 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
Antwoord: p2 = 230,3 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
Antwoord: hf = 24,96 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Antwoord: Q = 27,88 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
Antwoord: Pel = 14,13 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: H = 46,87 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
Antwoord: Ti = 1,173 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Antwoord: U = 0,4129 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Antwoord: N2 = 100
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Antwoord: ND = 50
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Antwoord: f(0.1) = 1,359
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: y(0.4) = 3,471
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: T(0) = 0,4138
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: K = 79,2
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: tp = 0,9069 s
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: K = 613,6
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwoord: K = 392
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Controleer ook de stabiliteit van de gesloten lus: voor deze tweedegraads lus is elke K > 0 stabiel.
Antwoord: K = 1,6
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical