Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 42 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (3 m van A) en rust op een rol in D (8 m van A). Hij draagt een puntlast P op 7 m van A en een puntlast Q op 1 m van A. Vind de reactie RD bij de rol.
Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.
Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.
Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
Een holle as moet 10 kW overbrengen bij 3000 rpm. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.
De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment Mmax tussen de opleggingen.
In een punt is σₓ = −40 MPa en σᵧ = −20 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τxy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 5 MPa bereikt?
Een massieve as met diameter 40 mm draagt een buigend moment van 750 N·m samen met een wringend moment van 500 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ1.
Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δmax, in het midden.
Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 3,5 m vanaf oplegging B. Vind de maximale doorbuiging δmax van de balk.
Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 135 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
Een bal wordt vanaf vlakke grond weggetrapt met 16 m/s onder 20° boven de horizontaal, naar een muur op 12 m afstand. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Op welke hoogte y passeert de bal de muur?
Een bal wordt gelanceerd met 33 m/s onder 45° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 20 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste hoogte H boven de grond aan de voet van de klif.
Een auto van 800 kg rijdt met een constante 54 km/h een helling van 2° op. Luchtweerstand en rolweerstand samen bedragen 400 N. Vind het vermogen P dat de wielen moeten leveren, in kW.
Een blok van 10 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 4,5 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 3,5 m over (μ = 0,3) en loopt daarna tegen een veer (k = 500 N/m) op een glad oppervlak. Vind de snelheid v van het blok als het de veer bereikt.
Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 12 mm 4 perioden later een piek van 3,4 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 10 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 15 kN/m en k₂ = 40 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.
Een warmtemotor werkt tussen een warm reservoir van 675 °C en een koud reservoir van 5 °C. Hij neemt 4900 kJ warmte op. Vind de meeste arbeid Wmax die hij zou kunnen leveren.
Een warmtepomp houdt een huis op 20 °C terwijl het buiten 2 °C is, en levert 10 kW warmte aan het huis. Vind het minimaal benodigde vermogen Ẇmin.
Een ideaal Diesel-kringproces heeft een compressieverhouding r = 20 en een afsnijverhouding rc = v₃/v₂ = 1,8. Aan het begin van de compressie heeft de lucht 310 K. Gebruik de koude-luchtstandaardaannamen: lucht is een ideaal gas met constante soortelijke warmtes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) en cv = 0,718 kJ/(kg·K). Vind de toegevoerde warmte qin per kilogram lucht, in kJ/kg.
Een ideaal Brayton-kringproces werkt met een drukverhouding van de compressor van 10. Gebruik de koude-luchtstandaardaannamen: lucht is een ideaal gas met constante soortelijke warmtes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) en cv = 0,718 kJ/(kg·K). Vind het thermisch rendement η in procent.
Water stroomt door een horizontale venturimeter met een inlaatdiameter van 200 mm en een keeldiameter van 150 mm. De druk bij de inlaat is 19 kPa hoger dan in de keel. Vind, zonder verliezen, het debiet Q.
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 150 mm naar 75 mm en daarbij 3 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 220 kPa en de snelheid 1,25 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 2 m/s door een horizontale leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 75 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 100 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 15 L/s?
Een pomp levert 15 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 54 m. Het pomprendement is 80% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 92%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Een pomp verplaatst 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 21 m hoger ligt. De leiding is 500 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 78%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Een wand bestaat uit 150 mm beton en 75 mm glas, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 20 °C en -14 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
Een wand van 100 mm glas en 75 mm hout scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -7 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 6 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
Een motor van 11 kW die met 1450 rpm draait, drijft een rondsel met 12 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 80 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.
In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as met 1440 rpm en drijft tandwiel B (40 tanden) aan. Tandwiel C (40 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 540 rpm draaien. Hoeveel tanden ND moet tandwiel D hebben?
Bepaal f(t) voor F(s) = (4s + 23)/(s² + 4s + 29) door het kwadraat af te splitsen, en bereken f(0,75).
Een systeem wordt beschreven door de differentiaalvergelijking y″ + 5y′ + 6y = 4u′ + 8u, met ingang u(t) en uitgang y(t). Bepaal de overdrachtsfunctie G(s) = Y(s)/U(s) (beginvoorwaarden nul) en bereken de impulsresponsie g(t) bij t = 0,25 s. Bepaal g(0,25).
Een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling heeft G(s) = 32/(s(s + 8)). De referentie is een helling r(t) = 5·t. Bepaal de stationaire fout ess.
Een proportionele regelaar K stuurt het proces G(s) = 1/(s + 4) aan in een lus met negatieve eenheidsterugkoppeling. Een verstoringsstap van grootte 10 komt binnen aan de ingang van het proces terwijl R = 0. Bepaal de kleinste versterking K waarbij de stationaire uitgang niet groter is dan 0,25.
Een systeem heeft de overdrachtsfunctie G(s) = 38/(s² + 8s + 38) en krijgt een eenheidsstap als ingang. Bepaal de procentuele overshoot %OS van de stapresponsie.
Een serie-RLC-schakeling met R = 58 Ω, L = 100 mH en C = 4,7 µF wordt op t = 0 aangesloten op een stap van 24 V. De condensator is ongeladen en er loopt voor de stap geen stroom. Bepaal de ongedempte eigenfrequentie ωn in rad/s.
De parabolische ingang r(t) = 5·t²/2 wordt aangelegd op een lus met eenheidsterugkoppeling met G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 5)). Bepaal de stationaire fout ess.
Een PI-regelaar C(s) = Kp + Ki/s stuurt het proces G(s) = 4/(s + 5) aan in een lus met eenheidsterugkoppeling. De gesloten lus moet ωₙ = 8 rad/s en ζ = 0,5 hebben. Bepaal de integrerende versterking Ki.
Antwoord: RA = 27,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: RD = 60 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.
Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.
Antwoord: δ = 1,421 mm
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.
Antwoord: σ2 = 15,53 MPa
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Antwoord: φ = 6,755 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Antwoord: do = 16,29 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Een massieve as zou d = 15,94 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.
Antwoord: Mmax = 117,8 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Evenwicht van de hele balk.
Houd het deel links van elke last over.
Antwoord: Mmax = 74,47 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.
Antwoord: τxy = 33,54 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Antwoord: σ1 = 131,4 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Antwoord: δmax = 20,09 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwoord: δmax = 18,44 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
De hoekverdraaiing in het langere deel gelijk aan nul stellen geeft de plaats.
Antwoord: Pcr = 31,64 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: d = 144 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Controle: de slankheid KL/r is 166,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.
Antwoord: y = 1,243 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Bij de muur is de bal al op weg omlaag.
Antwoord: H = 47,75 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwoord: P = 10,11 kW
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Vermogen is kracht maal snelheid: P = F·v.
Antwoord: v = 8,227 m/s
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: ζ = 0,05012
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: keq = 55 kN/m
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.
Antwoord: Wmax = 3463 kJ
Grenzen van de tweede hoofdwet: geen kringproces tussen reservoirs op absolute temperaturen TH en TL kan beter zijn dan het omkeerbare (Carnot)proces: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) en COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie blijft altijd behouden: QH = W + QL.
Antwoord: Ẇmin = 0,614 kW
Grenzen van de tweede hoofdwet: geen kringproces tussen reservoirs op absolute temperaturen TH en TL kan beter zijn dan het omkeerbare (Carnot)proces: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) en COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie blijft altijd behouden: QH = W + QL.
Een omkeerbare machine, met de hoogste COP, heeft de minste arbeid nodig.
Antwoord: qin = 826,1 kJ/kg
Diesel-kringproces (motor met compressieontsteking): 1→2 isentrope compressie, 2→3 warmtetoevoer bij constante druk, 3→4 isentrope expansie, 4→1 warmteafvoer bij constant volume. Met compressieverhouding r = v₁/v₂ en afsnijverhouding rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) en η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Antwoord: η = 48,21 %
Brayton-kringproces (gasturbine): 1→2 isentrope compressie, 2→3 warmtetoevoer bij constante druk, 3→4 isentrope expansie in de turbine, 4→1 warmteafvoer bij constante druk. Met drukverhouding rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k en η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Netto arbeid w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Met isentrope rendementen heeft de compressor ws/ηc nodig en levert de turbine ηt·ws.
Antwoord: Q = 131,8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
De leiding is horizontaal, dus alleen druk en snelheid veranderen.
Antwoord: p2 = 178,9 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
Antwoord: Δp = 200 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Antwoord: Δz = 5,614 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Antwoord: Pel = 10,8 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: Pshaft = 18,18 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: Ti = 0,3373 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Antwoord: U = 1,342 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Antwoord: T2 = 483 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: ND = 48
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Antwoord: f(0.75) = −1,115
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: g(0.25) = 1,889
Laplacetransformatie: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt maakt van afgeleiden vermenigvuldigingen met s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standaardparen: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), en een verschuiving s → s + σ vermenigvuldigt de tijdfunctie met e−σt. Om een rationale F(s) terug te transformeren, splits je haar in partieelbreuken: het residu van een enkelvoudige pool p is A = [(s − p)·F(s)] bij s = p. Eindwaardestelling: f(∞) = lims→0 s·F(s), alleen geldig als alle polen van s·F(s) in het linkerhalfvlak liggen. Beginwaardestelling: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Antwoord: ess = 1,25
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: K = 36
Blokschema-algebra: blokken in serie vermenigvuldig je (G₁·G₂), blokken parallel tel je op (G₁ + G₂), en een lus met voorwaarts pad G en terugkoppelpad H reduceert tot T = G/(1 + G·H) bij negatieve terugkoppeling en G/(1 − G·H) bij positieve terugkoppeling. Reduceer eerst de binnenste lussen en werk dan naar buiten. De gesloten-lus-polen zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking 1 + G(s)H(s) = 0. Voor een stabiele lus geeft een stapingang van grootte A de stationaire uitgang A·T(0); bij eenheidsterugkoppeling is de stationaire fout op een stap A/(1 + Kp) met Kp = G(0).
Antwoord: %OS = 6,862 %
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
De noemer moet overeenkomen met s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Antwoord: ωn = 1459 rad/s
Stapresponsie: een eerste-ordesysteem G(s) = K/(τs + 1) beantwoordt een stap van grootte U met y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): het bereikt 63,2 % van de eindwaarde K·U na één tijdconstante τ en 98 % na 4τ. Een tweede-ordesysteem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) heeft de polen s = −ζωₙ ± jωd met ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Voor 0 < ζ < 1 schiet de stapresponsie door: procentuele overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), piektijd tp = π/ωd, en de 2%-insteltijd ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergelijk de noemer met s² + 2ζωₙs + ωₙ² om ωₙ en ζ af te lezen. Voor een massa-veer-demper is ωₙ = √(k/m) en ζ = c/(2√(km)); voor een serie-RLC-schakeling is ωₙ = 1/√(LC) en ζ = (R/2)·√(C/L).
Antwoord: ess = 6,25
Stationaire fout: in een lus met eenheidsterugkoppeling en open-lusoverdrachtsfunctie G(s) is de fout E(s) = R(s)/(1 + G(s)), en volgens de eindwaardestelling is ess = lims→0 s·E(s). Het systeemtype is het aantal polen van G(s) bij s = 0. De foutconstanten zijn Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) en Ka = lim s²·G(s), allemaal voor s → 0. Een stap van grootte A geeft ess = A/(1 + Kp), een helling A·t geeft A/Kv en een parabool A·t²/2 geeft A/Ka. Een type-0-lus volgt een stap met een eindige fout, een type-1-lus volgt een stap exact en een helling met een eindige fout.
Antwoord: Ki = 16
P-, PI- en PID-regeling: de regelaar C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s werkt op de fout. Een proportionele versterking maakt de lus sneller en verkleint de fout van een type-0-proces, maar neemt die nooit weg. De integrerende term voegt een pool toe bij s = 0: het systeemtype gaat met één omhoog en een stap wordt zonder fout gevolgd. De differentiërende term voegt demping toe. Om de versterkingen te kiezen, schrijf je het karakteristieke polynoom van de gesloten lus op en vergelijk je het met s² + 2ζωns + ωn². Dan geldt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd met ωd = ωn√(1 − ζ²), en ts ≈ 4/(ζωn).
1 + C(s)G(s) = 0, vermenigvuldigd met s(s + 5).
De integrerende term maakt de lus type 1, dus een stap wordt zonder stationaire fout gevolgd.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical