Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Waterbouwkunde: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Stroming in open waterlopen (Manning)
- Formule van Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debiet
- Q = A·V
- Hydraulische straal
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechthoek
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezium (taludhelling z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Ronde buis, vol of half vol
- R = D/4
- Benodigd verhang
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 2,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 3 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 75 mm naar 40 mm. In het brede deel is de druk 250 kPa en de snelheid 1,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 250 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 75 mm naar 25 mm en daarbij 4 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 360 kPa en de snelheid 0,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 360 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met 80 L/s door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 300 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 31 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 31 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 25 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 70 m, terwijl de as 28,6 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 25 L/sH = 70 mPshaft = 28,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 60 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 10 m hoger ligt. De leiding is 200 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 4 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 65%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Q = 60 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 4η = 65%
Pshaft = kW
9.Stroming in open waterlopen (Manning)Gemiddeld
Een betonnen regenwaterriool met een binnendiameter van 900 mm stroomt half vol. Manning-n = 0,013 en het verhang is S = 0,002. Vind het debiet Q in m³/s.
D = 900 mmn = 0,013S = 0,002
Q = m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)Moeilijk
Een trapeziumvormig kanaal van afgewerkt beton met een bodembreedte van 3 m en taluds van 3:1 (horizontaal:verticaal) moet 3 m³/s afvoeren bij eenparige stroming met een diepte van 0,5 m. Manning-n = 0,012. Vind het benodigde bodemverhang S (in m/m).
Q = 3 m³/sb = 3 my = 0,5 mz = 3n = 0,012
S = m/m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 68,67 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN
Antwoord
F = 68,67 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 4,373 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,25·7,5 = 394 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,25 + 3,906/(4,25·7,5) = 4,373 m
Antwoord
ycp = 4,373 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 232,6 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−17,39) = 232,6 kPa
Antwoord
p2 = 232,6 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 298,3 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 360 + (−22,5) − 39,24 = 298,3 kPa
Antwoord
p2 = 298,3 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 0,4896 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Gemiddelde snelheid
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,3)·1,132²/(2·9,81) = 0,4896 m
Antwoord
hf = 0,4896 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 287,7 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
31 = (10 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·31/17,7) = 5,862 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 5,862·0,04909 = 0,2877 m³/s = 287,7 L/s
Antwoord
Q = 287,7 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 60,03 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·70 = 17,17 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 17,17/28,6 = 60,03%
Antwoord
η = 60,03%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 12,76 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0,1859 = 4,09 m
Opvoerhoogte van de pomp
H = Δz + hL = 10 + 4,09 = 14,09 m
Asvermogen
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·14,09/0,65 = 12,76 kW
Antwoord
Pshaft = 12,76 kW
9.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: Q = 0,4048 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m
Snelheid
V = (1/0,013)·0,2252/3·0,0021/2 = 1,273 m/s
Debiet
Q = A·V = 0,3181·1,273 = 0,4048 m³/s
Antwoord
Q = 0,4048 m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: S = 0,000981 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (3 + 3·0,5)·0,5 = 2,25 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0,5·√(1 + 3²) = 6,162 m
R = A/P = 0,3651 m
Los Manning op naar S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·3/(2,25·0,5109) = 0,03132
S = 0,03132² = 0,000981
Antwoord
S = 0,000981
Dat is een daling van 0,981 m per kilometer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering