Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Waterbouwkunde: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Stroming in open waterlopen (Manning)
- Formule van Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debiet
- Q = A·V
- Hydraulische straal
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechthoek
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezium (taludhelling z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Ronde buis, vol of half vol
- R = D/4
- Benodigd verhang
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 1,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 150 mm naar 75 mm. In het brede deel is de druk 100 kPa en de snelheid 2 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 100 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een fonteinmondstuk wijst recht omhoog. Net onder het mondstuk heeft de toevoerleiding een diameter van 75 mm en een overdruk van 60 kPa. De uitlaatdiameter van het mondstuk is 25 mm, en het hoogteverschil over het mondstuk is verwaarloosbaar. Vind, zonder verliezen en luchtweerstand, de hoogte H die de straal boven het mondstuk stijgt. Gebruik g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 60 kPa (overdruk)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met 30 L/s door een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Q = 30 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 300 mm (Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022) loopt vanuit een open reservoir en stroomt als vrije straal uit in de lucht. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 3 bochten (K = 0,3 per stuk) en een afsluiter (K = 0,2). Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe hoog H moet het reservoiroppervlak boven de uitstroomopening liggen voor een debiet van 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2
H = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 50 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 46 m, terwijl de as 37,6 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 50 L/sH = 46 mPshaft = 37,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 15 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 20 m hoger ligt. De leiding is 100 m lang met een binnendiameter van 100 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 300 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 15 L/sΔz = 20 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)Gemiddeld
Een trapeziumvormig kanaal van schone grond heeft een bodembreedte van 3,5 m en taluds van 1,5:1 (horizontaal:verticaal). Water stroomt eenparig 0,6 m diep. Manning-n = 0,022 en het bodemverhang is S = 0,005. Vind het debiet Q in m³/s.
b = 3,5 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,022S = 0,005
Q = m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)Moeilijk
Een betonnen riool met een binnendiameter van 250 mm (Manning-n = 0,013) moet bij net volle stroming een zelfreinigende snelheid van 0,6 m/s halen. Vind het minimale verhang S (in m/m).
D = 250 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 119,6 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN
Antwoord
F = 119,6 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 2,939 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,75·2,5 = 84,98 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 1,302/(2,75·2,5) = 2,939 m
Antwoord
ycp = 2,939 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 70 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/75)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 100 + (−30) = 70 kPa
Antwoord
p2 = 70 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: H = 6,193 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Uittreesnelheid
β = 25/75 = 0,3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0,9877)) = 11,02 m/s
Hoogte van de straal
Bernoulli langs de straal: bovenaan is de snelheid nul en de druk weer atmosferisch.
H = v2²/(2g) = 11,02²/(2·9,81) = 6,193 m
Antwoord
H = 6,193 m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 0,4112 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Gemiddelde snelheid
A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,03/0,04909 = 0,6112 m/s
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 0,6112²/(2·9,81) = 0,01904 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,25)·0,6112²/(2·9,81) = 0,4112 m
Antwoord
hf = 0,4112 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: H = 1,387 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6
Energievergelijking
De uitstromende straal heeft nog zijn snelheidshoogte; dat is geen verlies, maar die moet wel geleverd worden.
H = (1 + 11 + 1,6)·0,102 = 1,387 m
Antwoord
H = 1,387 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 60,01 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·46 = 22,56 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 22,56/37,6 = 60,01%
Antwoord
η = 60,01%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 56,16 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,1859 = 5,577 m
Drukhoogte
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 20 + 30,58 + 5,577 = 56,16 m
Antwoord
H = 56,16 m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: Q = 5,101 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,6)·0,6 = 2,64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 5,663 m
R = A/P = 0,4662 m
Snelheid
V = (1/0,022)·0,46622/3·0,0051/2 = 1,932 m/s
Debiet
Q = A·V = 2,64·1,932 = 5,101 m³/s
Antwoord
Q = 5,101 m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: S = 0,002453 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Hydraulische straal
R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m
Los Manning op naar S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,1575)² = 0,002453
Antwoord
S = 0,002453
Dat is een daling van 2,453 m per kilometer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering