Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Waterbouwkunde: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Stroming in open waterlopen (Manning)
- Formule van Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debiet
- Q = A·V
- Hydraulische straal
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechthoek
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezium (taludhelling z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Ronde buis, vol of half vol
- R = D/4
- Benodigd verhang
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 4 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale venturimeter met een inlaatdiameter van 200 mm en een keeldiameter van 100 mm. De druk bij de inlaat is 14 kPa hoger dan in de keel. Vind, zonder verliezen, het debiet Q.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 14 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een slang met een binnendiameter van 40 mm hevelt water uit een open tank. Het hoogste punt C van de slang ligt 2,5 m boven het wateroppervlak, en de uitlaat (open naar de lucht) ligt 3,5 m onder het wateroppervlak. Verwaarloos verliezen en neem g = 9,81 m/s². Vind de absolute druk pC in punt C. De atmosferische druk is 101,3 kPa.
d = 40 mmzC = +2,5 mz2 = −3,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met 50 L/s door een leiding van 400 m lang met een binnendiameter van 150 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,028 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Q = 50 L/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 200 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 2) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 60 L/s?
Q = 60 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 10 m, terwijl de as 5,5 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 40 L/sH = 10 mPshaft = 5,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 80 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 12 m hoger ligt. De leiding is 150 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8
H = m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)Gemiddeld
Een trapeziumvormig kanaal van afgewerkt beton heeft een bodembreedte van 4,5 m en taluds van 2:1 (horizontaal:verticaal). Water stroomt eenparig 1,3 m diep. Manning-n = 0,012 en het bodemverhang is S = 0,002. Vind het debiet Q in m³/s.
b = 4,5 my = 1,3 mz = 2n = 0,012S = 0,002
Q = m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)Moeilijk
Een trapeziumvormig kanaal van grind met een bodembreedte van 4 m en taluds van 1,5:1 (horizontaal:verticaal) moet 21 m³/s afvoeren bij eenparige stroming met een diepte van 2,4 m. Manning-n = 0,025. Vind het benodigde bodemverhang S (in m/m).
Q = 21 m³/sb = 4 my = 2,4 mz = 1,5n = 0,025
S = m/m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 98,1 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·2 = 98,1 kN
Antwoord
F = 98,1 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 25,9 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·1·3 = 25,9 kN
Antwoord
F = 25,9 kN
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 42,92 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuïteit
v1 = v2·(100/200)² = 0,25·v2
Bernoulli tussen inlaat en keel
De leiding is horizontaal, dus alleen druk en snelheid veranderen.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·14000/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,465 m/s
v1 = 1,366 m/s
Debiet
Q = A2·v2 = 0,007854·5,465 = 0,04292 m³/s = 42,92 L/s
Antwoord
Q = 42,92 L/s
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: pC = 42,44 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Snelheid in de slang
Oppervlak en uitlaat zijn allebei open naar de lucht, dus de drukterm valt weg.
v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s
Bernoulli van het oppervlak naar C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·2,5)/1000 = 101,3 − 58,86 = 42,44 kPa
Antwoord
pC = 42,44 kPa
Als deze druk daalt tot de dampdruk van het water, werkt de hevel niet meer.
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 30,47 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Gemiddelde snelheid
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,15)·2,829²/(2·9,81) = 30,47 m
Antwoord
hf = 30,47 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δz = 4,22 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Totaal drukhoogteverlies
hf = 18·0,1859 = 3,346 m
hm = 4,7·0,1859 = 0,8738 m
Δz = hf + hm = 4,22 m
Antwoord
Δz = 4,22 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 71,35 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·10 = 3,924 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 3,924/5,5 = 71,35%
Antwoord
η = 71,35%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 18,36 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,3305 = 6,362 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn open en praktisch in rust, dus de druk- en snelheidstermen vallen weg.
H = Δz + hL = 12 + 6,362 = 18,36 m
Antwoord
H = 18,36 m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: Q = 31,94 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·1,3)·1,3 = 9,23 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,3·√(1 + 2²) = 10,31 m
R = A/P = 0,8949 m
Snelheid
V = (1/0,012)·0,89492/3·0,0021/2 = 3,461 m/s
Debiet
Q = A·V = 9,23·3,461 = 31,94 m³/s
Antwoord
Q = 31,94 m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: S = 0,0005088 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·2,4)·2,4 = 18,24 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,4·√(1 + 1,5²) = 12,65 m
R = A/P = 1,442 m
Los Manning op naar S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·21/(18,24·1,276) = 0,02256
S = 0,02256² = 0,0005088
Antwoord
S = 0,0005088
Dat is een daling van 0,5088 m per kilometer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering