Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Waterbouwkunde: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Stroming in open waterlopen (Manning)
- Formule van Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Debiet
- Q = A·V
- Hydraulische straal
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechthoek
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezium (taludhelling z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Ronde buis, vol of half vol
- R = D/4
- Benodigd verhang
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 1,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met zeewater, met de bovenrand 3 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 75 mm naar 50 mm. In het brede deel is de druk 310 kPa en de snelheid 1,5 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 310 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een fonteinmondstuk wijst recht omhoog. Net onder het mondstuk heeft de toevoerleiding een diameter van 75 mm en een overdruk van 110 kPa. De uitlaatdiameter van het mondstuk is 40 mm, en het hoogteverschil over het mondstuk is verwaarloosbaar. Vind, zonder verliezen en luchtweerstand, de hoogte H die de straal boven het mondstuk stijgt. Gebruik g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 110 kPa (overdruk)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met 6 L/s door een leiding van 500 m lang met een binnendiameter van 50 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Q = 6 L/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 25 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 0,2) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 25 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 10 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 30 m, terwijl de as 4,9 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 10 L/sH = 30 mPshaft = 4,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 120 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 31 m hoger ligt. De leiding is 600 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 250 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 120 L/sΔz = 31 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)Gemiddeld
Een rechthoekig kanaal van onafgewerkt beton is 2 m breed. Water stroomt eenparig 1,1 m diep. Manning-n = 0,014 en het bodemverhang is S = 0,001. Vind het debiet Q in m³/s.
b = 2 my = 1,1 mn = 0,014S = 0,001
Q = m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)Moeilijk
Een betonnen riool met een binnendiameter van 375 mm (Manning-n = 0,013) moet bij net volle stroming een zelfreinigende snelheid van 0,9 m/s halen. Vind het minimale verhang S (in m/m).
D = 375 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 99,33 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·4,5 = 99,33 kN
Antwoord
F = 99,33 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 105,6 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,5·3 = 105,6 kN
Antwoord
F = 105,6 kN
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 305,4 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/50)² = 3,375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 310 + (−4,57) = 305,4 kPa
Antwoord
p2 = 305,4 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: H = 12,2 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Uittreesnelheid
β = 40/75 = 0,5333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9191)) = 15,47 m/s
Hoogte van de straal
Bernoulli langs de straal: bovenaan is de snelheid nul en de druk weer atmosferisch.
H = v2²/(2g) = 15,47²/(2·9,81) = 12,2 m
Antwoord
H = 12,2 m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 85,67 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Gemiddelde snelheid
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 85,67 m
Antwoord
hf = 85,67 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 219,6 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
25 = (21,6 + 2,9)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·25/24,5) = 4,474 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 4,474·0,04909 = 0,2196 m³/s = 219,6 L/s
Antwoord
Q = 219,6 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 60,06 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·30 = 2,943 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 2,943/4,9 = 60,06%
Antwoord
η = 60,06%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 73,54 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0,3046 = 17,06 m
Drukhoogte
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 31 + 25,48 + 17,06 = 73,54 m
Antwoord
H = 73,54 m
9.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: Q = 3,229 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Geometrie
A = b·y = 2·1,1 = 2,2 m²
P = b + 2y = 2 + 2·1,1 = 4,2 m
R = A/P = 0,5238 m
Snelheid
V = (1/0,014)·0,52382/3·0,0011/2 = 1,468 m/s
Debiet
Q = A·V = 2,2·1,468 = 3,229 m³/s
Antwoord
Q = 3,229 m³/s
10.Stroming in open waterlopen (Manning)
Antwoord: S = 0,003214 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Hydraulische straal
R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m
Los Manning op naar S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,2064)² = 0,003214
Antwoord
S = 0,003214
Dat is een daling van 3,214 m per kilometer.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering